Feladat:	C.967	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2012/január, 11 - 12. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: C.967

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az első egyenlet 3-szorosát hozzáadva a második egyenlethez a következő másodfokú egyenletet kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 9x^2+6xy+y^2=25.}\end{array}$ Az egyenlet bal oldala teljes négyzet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(3x+y\right)}^2=25.}\end{array}$ Két eset lehetséges. I. eset: $3x+y=5$, innen $y=5-3x$. Ezt az első egyenletbe beírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3x^2-x\left(5-3x\right)=\mathrm{1,}6x^2-5x-1=\mathrm{0,}}\end{array}$ amiből $x_1=1$, $x_2=-\frac{1}{6}$; $y_1=2$, $y_2=5\mathrm{,}5$. II. eset: $3x+y=-5$, innen $y=-5-3x$. Ezt az első egyenletbe beírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3x^2-x\left(-5-3x\right)=\mathrm{1,}6x^2+5x-1=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $x_3=-1$, $x_4=\frac{1}{6}$; $y_3=-2$, $y_4=-5\mathrm{,}5$. Az egyenletrendszer megoldásai: $x_1=1$, $y_1=2$; $x_3=-1$, $y_3=-2$; illetve $x_2=-\frac{1}{6}$, $y_2=5\mathrm{,}5$; $x_4=\frac{1}{6}$, $y_4=-5\mathrm{,}5$. Ezek valóban megoldásai az egyenletrendszernek, mivel csak ekvivalens átalakításokat végeztünk.