Feladat:	4689. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Panna
Füzet:	2015/február, 117 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb körfolyamatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/december: 4689. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A körfolyamat a $p-V$ diagramon az ábrán látható téglalappal szemléltethető. A $B$ és a $D$ állapot hőmérséklete megegyezik, így a gáztörvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle V_1{p}_2=V_2{p}_1\mathrm{,}\text{azaz}\frac{p_2}{p_1}=\frac{V_2}{V_1}=x\mathrm{.}}\end{array}$ Ha sikerül meghatároznunk az $x$ arányszámot, abból a gáz legalacsonyabb hőmérsékletét is kiszámíthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_A=\frac{p_1{V}_1}{p_2{V}_2}\cdot T_C=\frac{1}{x^2}\cdot T_C=\frac{1}{x^2}\cdot 500\text{K. }}\end{array}$     A két szélső hőmérséklet között a legnagyobb hatásfok egy Carnot-folyamattal érhető el: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\eta }_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\frac{T_C-T_A}{T_C}=1-\frac{1}{x^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Számítsuk ki a feladatban szereplő körfolyamat termodinamikai hatásfokát is $x$-szel kifejezve! A kétatomos gáz molekuláinak szabadsági foka $f=5$, így a gáz mólhője állandó térfogaton $\frac{5}{2}R$, állandó nyomásnál pedig $\frac{7}{2}R$. Ennek megfelelően az $A\to B$ és a $B\to C$ állapotváltozás során felvett hő: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle Q_{A\to B}}& {\displaystyle =\frac{5}{2}nR\left(T_B-T_A\right)=\frac{5}{2}\left(p_2{V}_1-p_1{V}_1\right)=\frac{5}{2}{p}_1{V}_1\left(x-1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Q_{B\to C}}& {\displaystyle =\frac{7}{2}nR\left(T_C-T_B\right)=\frac{7}{2}\left(p_2{V}_2-p_2{V}_1\right)=\frac{7}{2}{p}_1{V}_1\cdot x\left(x-1\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ a ciklusonként végzett munka pedig az ábrán látható téglalap területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle W_{\text{gáz}}=\left(p_2-p_1\right)\left(V_2-V_1\right)=p_1{V}_1\cdot {\left(x-1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Eszerint a folyamat hatásfoka (a számunkra érdekes $x>1$ esetben): $\begin{array}{c}{\displaystyle \eta \left(x\right)=\frac{W_{\text{gáz}}}{Q_{A\to B}+Q_{B\to C}}=2\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(7x+5\right)}=2\frac{x-1}{7x+5}\mathrm{.}}\end{array}$ Az ${\eta }_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=9\mathrm{,}9\eta \left(x\right)$ feltétel akkor teljesül, ha fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\frac{1}{x^2}=19\mathrm{,}8\frac{x-1}{7x+5}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez ($x-1\ne 0$-val egyszerűsítve) a $\begin{array}{c}{\displaystyle 12\mathrm{,}8x^2-12x-5=0}\end{array}$ másodfokú egyenletre vezet, amelynek fizikailag értelmes, pozitív megoldása: $x_1=1\mathrm{,}25$. Ennek megfelelően a gáz legalacsonyabb hőmérséklete: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_A=\frac{T_C}{x_1^2}=\frac{500\text{K}}{1\mathrm{,}{25}^2}=320\text{K. }}\end{array}$