Feladat:	4674. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szántó Benedek
Füzet:	2015/február, 110 - 111. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb kényszermozgás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: 4674. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A gyöngy gyorsulása két komponensből tehető össze: egy menetirányú (a csavarvonal pillanatnyi érintőjének irányába mutató) gyorsulásból, valamint egy sugárirányú (a csavarvonal tengelyére merőleges, tehát vízszintes) centripetális gyorsulásból. Az $r=0\mathrm{,}1$ m sugarú, $h=0\mathrm{,}2$ m menetemelkedésű csavarvonalat (az érintő irányú gyorsulás szempontjából) tekinthetjük egy olyan (felcsavart) lejtőnek, amelynek alapja $\ell =2r\pi =0\mathrm{,}63$ m, magassága 0,2 m, tehát a hajlásszöge $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\text{arctg}\frac{h}{\ell }=17\mathrm{,}{6}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen a lejtőn a gyöngyszem menetirányú gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=g\text{sin}\alpha =3\mathrm{,}0\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A centripetális gyorsulást a gyöngyszem $\begin{array}{c}{\displaystyle v\text{'}=v\text{cos}\alpha =\sqrt[]{2gh}\text{cos}\alpha }\end{array}$ vízszintes sebességkomponenséből számíthatjuk ki ($v=\sqrt[]{2gh}$ a gyöngy sebességének nagysága 1 menetnyi süllyedés után). A megadott számadatokkal $v\text{'}=1\mathrm{,}89\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{,}$ és így a centripetális gyorsulás nagysága: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_2=\frac{v{\text{'}}^2}{r}\approx 35\mathrm{,}7\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A menetirányú gyorsulás és a centripetális gyorsulás egymásra merőleges vektorok, eredőjük nagyságát tehát a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle |\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">a</span></span>}|=\sqrt[]{a_1^2+a_2^2}\approx 36\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy az eredő gyorsulást lényegében a centripetális gyorsulás határozza meg, mellette a pályamenti gyorsulás nem számottevő.