Feladat:	4659. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2015/február, 109 - 110. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gömbkondenzátor
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: 4659. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük a külső fémgömb sugarát $R$-rel, töltését $Q$-val, a belső fémgolyó sugarát pedig $r$-rel. Tekintsük először azt az esetet, amikor a belső golyó nincs földelve. Ekkor a potenciálja megegyezik a külső gömb potenciáljával: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_r=U_R=k\frac{Q}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ hiszen a külső elektromos tér megegyezik egy $Q$ nagyságú ponttöltés terével, a fémgömbön belül pedig nulla a térerősség, a potenciál tehát itt mindenhol ugyanakkora. Nézzük most azt az esetet, amikor a belső golyón $Q^{*}$ töltés van, a külső gömb pedig töltetlen. Ekkor a belső golyó potenciálja $\begin{array}{c}{\displaystyle U_r^{*}=k\frac{Q^{*}}{r}\mathrm{,}}\end{array}$ a külső fémgömbé pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle U_R^{*}=k\frac{Q^{*}}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha mindkét fémen töltés található, akkor a fenti két eset együttesével (szuperpoziciójával) számolhatunk, amelyet a töltések, illetve a potenciálok összegzésével kaphatunk meg. Ha a belső golyó földelve van, akkor a potenciálja nulla, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle U_r+U_r^{*}=k\frac{Q}{R}+k\frac{Q^{*}}{r}=\mathrm{0,}\text{ahonnan}{Q}^{*}=-\frac{r}{R}Q\mathrm{,}}\end{array}$ a külső gömb (eredő) potenciálja pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle U=U_R+U_R^{*}=k\frac{Q}{R}+k\frac{Q^{*}}{R}=k\frac{Q}{R}\left(1-\frac{r}{R}\right)=225\text{V}\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. Egy gömbkondenzátor kapacitása $\begin{array}{c}{\displaystyle C=4\pi {\epsilon }_0\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $R_1$ a belső, $R_2$ pedig a külső gömb sugara. A feladatban szereplő elrendezés egyenértékű egy $R_1=$0,1 m és $R_2=$0,2 m sugarú gömbkondenzátor, valamint egy $R_1=$0,2 m és $R_2\gg R_1$ sugarú gömbkondenzátor párhuzamos kapcsolásával. Az egyik kondenzátort a fémgolyó és a fémgömb belső felülete, a másikat a fémgömb külső felülete és a ,,végtelen távoli'' földelés valósítja meg. A kondenzátorok fegyverzeteit a hosszú vezeték, illetve a fémgömb anyaga köti össze, ezek valósítják meg a párhuzamos kapcsolást. A megadott adatokkal mindkét kondenzátor kapacitása 22,2 pF, párhuzamos eredőjük tehát 44,4 pF-os. Így a külső fémgömb potenciálja (a földeléshez képest) $\begin{array}{c}{\displaystyle U=\frac{{10}^{-8}\text{C}}{4\mathrm{,}44\cdot {10}^{-11}\text{F}}=225\text{V. }}\end{array}$   Megjegyzés. Sok megoldó elkövette azt a hibát, hogy a külső fémgömböt és a belső fémgolyót egyszerűen egy gömbkondenzátornak tekintette, $+Q$ és $-Q$ töltéssel. Ha ez így lenne, akkor a nagyobb gömbön kívül (a nulla össztöltés miatt) nem alakulna ki elektromos tér, tehát a fémgömb is nulla potenciálú kellene, hogy legyen. Másrészt a fémgömb és a fémgolyó közötti elektromos tér miatt a fémgolyó nem lehet ugyancsak nulla potenciálú, pedig ténylegesen az, hiszen leföldeltük. Ez az ellentmondás mutatja, hogy hibás a feltevés; a belső fémgolyó töltése nem lehet ugyanakkora nagyságú, mint a külső fémgömbé.