Feladat:	4656. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ahaan S. Rungta ,  Asztalos Bogdán
Füzet:	2015/január, 54 - 55. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Coulomb-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: 4656. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A három gömb ‐ a szimmetria miatt ‐ egymástól egyenlő távolságban fog elhelyezkedni, vagyis egy szabályos háromszöget alkotnak. A háromszög oldalainak $d$ hossza (a kis gömbök távolsága) a kör sugarának $\sqrt[]{3}$-szorosa. Mindhárom gömböt taszítja a másik kettő. Mivel a töltésük és a távolságaik egyenlőek, bármelyik kiválasztott ($A$ jelű) gömbre ugyanakkora, $\begin{array}{c}{\displaystyle F_0=k\frac{Q^2}{d^2}}\end{array}$ nagyságú, egymással ${60}^{\circ }$-os szöget bezáró erővel hat a másik kettő, a bal oldali (felülnézeti) ábrának megfelelően.     Az ábráról az is leolvasható, hogy a két Coulomb-erő eredője $\begin{array}{c}{\displaystyle F=2F_0\text{cos}{30}^{\circ }=\sqrt[]{3}{F}_0=\frac{\sqrt[]{3}k{Q}^2}{3r^2}}\end{array}$ (1) nagyságú, és a háromszög kiválasztott csúcsával szemben lévő oldalra merőleges. Mindegyik gömb, így az $A$ jelű is egyensúlyban van, tehát a rá ható erők eredője nulla. A jobb oldali (oldalnézeti) ábráról látható, hogy az egyensúly feltétele: a vízszintes irányú $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">F</span></span>}$ elektrosztatikus erő és a függőleges irányú $m\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">g</span></span>}$ nehézségi erő eredője ugyanakkora $\vartheta$ szöget zárjon be a függőlegessel, mint a fonálban ható $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">T</span></span>}$ erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\vartheta =\frac{F}{mg}=\frac{r}{\sqrt[]{{\ell }^2-r^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználva az (1) összefüggést, továbbá bevezetve az $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{r^2}{{\ell }^2}}\end{array}$ (2) dimenziótlan mennyiséget, az egyensúly feltétele ilyen alakra hozható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-x=K\cdot x^3\mathrm{,}}\end{array}$ (3) ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle K=3{\left(\frac{{\ell }^{2}mg}{k{Q}^2}\right)}^2\approx 46\mathrm{,}5.}\end{array}$ A (3) harmadfokú egyenlet pl. a Desmos Graphing Calculator nevű online függvényábrázoló program segítségével (www.desmos.com/calculator) könnnyen megoldható. Az egyenlet mindkét oldalát grafikusan ábrázolva megállapíthatjuk, hogy a két görbének egyetlen metszéspontja van $x=0\mathrm{,}252$ értéknél, ami (2) alapján $r=0\mathrm{,}10$ m-nek felel meg. A kicsi, elektromosan töltött gömbök tehát az egyensúly beállta után egy 10 cm sugarú kör mentén, egymástól kb. 17 cm távolságra fognak elhelyezkedni.