Kezdőlap


Feladat:	4642. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér Zsombor , Marosvári Kristóf
Füzet:	2015/január, 50 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkinga, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: 4642. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $P$ pontban $v_{0}$ sebességgel függőlegesen lefelé indított fonálinga a $k$ körön haladva eljut az ábrán látható $Q$ pontba, ahol a fonala meglazul.

Ez akkor következik be, amikor a fonálerő nullává válik, vagyis amikor az

m g

nehézségi erő fonálirányú komponense éppen biztosítani tudja a

v_{1}

sebességű körmozgásnak megfelelő centripetális erőt:

\begin{matrix} \frac{m v_{1}^{2}}{ℓ} = m g cos α, \end{matrix}

(1)

ahol

α

a függőlegessel bezárt szög a meglazuláskor. A mechanikai energia megmaradásának tételéből kiszámíthatjuk az inga nehezékének sebességét a

Q

pontban:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g ℓ cos α + \frac{1}{2} m v_{1}^{2} . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) összefüggésekből

\begin{matrix} v_{1} = \frac{v_{0}}{\sqrt[]{3}} \approx 1, 155 \frac{m}{s}, \end{matrix}

(3)

valamint

\begin{matrix} cos α = \frac{v_{1}^{2}}{g ℓ} \approx 0, 68; vagyis α \approx 47, 2^{\circ} \end{matrix}

(4)

következik.
A fonál meglazulása után az ingatest letér a

k

körpályáról, és egy

v_{1}

kezdősebességű,

α

szögű ferde hajítás

p

parabolapályáján halad tovább. Ez a parabola valamely

R

pontban metszi a kört, a fonál ennél a pontnál feszül meg újra. Feladatunk az

O R

egyenes és a függőleges által bezárt

β

szög meghatározása.
Vegyünk egy olyan koordináta-rendszert, amelynek

O

origója az inga felfüggesztési pontja,

x

tengelye vízszintesen jobbra,

y

tengelye pedig függőlegesen felfelé mutat. Ebben a rendszerben az ingatest koordinátái

t

idővel a fonál meglazulása után:

\begin{matrix} x = v_{1} t cos α - ℓ sin α, \end{matrix}

(5)

illetve

\begin{matrix} y = - \frac{g}{2} t^{2} + v_{1} t sin α + ℓ cos α . \end{matrix}

(6)

A fonál akkor feszül meg újra, amikor a végén lévő test ismét

ℓ

távolságra kerül a felfüggesztési ponttól. Az

x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}

összefüggés (5) és (6) behelyettesítésével

t

-re egy negyedfokú egyenletet ad (összhangban azzal, hogy egy körnek és egy parabolának legfeljebb 4 közös pontja lehet):

\begin{matrix} t^{4} \cdot \frac{g^{2}}{4} - t^{3} \cdot v_{1} g sin α = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t^{3} (t - \frac{4 v_{1}}{g} sin α) = 0. \end{matrix}

(7)

Ennek az egyenletnek

t = 0

háromszoros gyöke, ez a megoldás a

Q

pontnak felel meg.

Megjegyzés. Nem meglepő, hogy

t = 0

háromszoros gyök, hiszen közvetlenül a fonál meglazulásának pillanata előtt a test helye, sebessége és gyorsulása ugyanakkora, mint ezek a mennyiségek közvetlenül a fonál meglazulása után. Geometriai nyelven megfogalmazva: a

k

kör és a

p

parabola

Q

metszéspontjában a két görbe érintője is és a görbülete is megegyezik.

A (7) egyenlet számunkra érdekes negyedik gyöke

\begin{matrix} t_{4} = \frac{4 v_{1} sin α}{g} \approx 0, 345 s, \end{matrix}

(8)

a meglazulását követően ennyi idő múlva feszül meg újra a fonál. Az inga nehezékének koordinátái ekkor (5) és (6) szerint, (1) és (8) felhasználásával:

\begin{matrix} x_{R} & = x (t_{4}) = ℓ sin α (4 cos^{2} α - 1) = ℓ sin (3 α), \\ y_{R} & = y (t_{4}) = ℓ cos α (1 - 4 sin^{2} α) = - ℓ cos (3 α), \end{matrix}

amik a keresett

β

szöggel is kifejezhetők:

\begin{matrix} x_{R} = ℓ sin β, y_{R} = - ℓ cos β . \end{matrix}

Eszerint a fonál szöge az ismételt megfeszülés pillanatában

\begin{matrix} β = 180^{\circ} - 3 α \approx 38, 4^{\circ} . \end{matrix}