Feladat:	4600. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér Zsombor
Füzet:	2015/január, 44 - 45. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Áramlások hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/január: 4600. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Tekintsünk a két folyamatban a buborékok azonos $V$ térfogatához tartozó pillanatokat. Attól, hogy a szívószál átmérője kétszer akkora lett, a kiáramló levegő sebessége nem változik. $A=d^2\pi /4$ felületen $v$ sebesség mellett kicsiny $\Delta t$ idő alatt $\Delta V=Av\Delta t$ térfogatú levegő távozik. Így ${\left(2d\right)}^2\pi /4=4A$ felületen $\Delta t/4$ idő alatt ömlik ki ugyanennyi. Ha mindkét esetben videofelvételt készítünk a buborékok leeresztéséről, majd a $2d$ átmérőjű szívószálhoz tartozó felvételt negyedére lassítva játsszuk le, akkor azon is ugyanazt fogjuk látni, mint az első videón. Hiszen az első felvételen $\Delta t$ idő alatt ömlik ki $\Delta V$ térfogatú levegő, a második videó lejátszásakor a $\Delta t$ idő a valóságban $\Delta t/4$ időnek felel meg, így ott is $\Delta V$ térfogatú levegő távozik. A térfogatok tehát a két felvételen ugyanolyan ütemben csökkennek, így a két felvétel lejátszásakor a leeresztési idők is megegyeznek. Ha a $d$ átmérőjű szívószálon $t=8$ másodpercig tart a leeresztés, akkor a $2d$ átmérőjű csövön keresztül a lassított felvételen is 8 másodpercig fog tartani, ami a valóságban $t/4=2$ másodpercnek felel meg. $b)$ Egy $r$ sugarú, $\alpha$ felületi feszültségű buborék belsejében a túlnyomás (a buborék falának mindkét oldalát és a gömbfelület ,,kétféle irányú'' görbületét is figyelembe véve) $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta p=\frac{4\alpha }{r}\mathrm{.}}\end{array}$ A Bunsen-féle kiömlési törvény szerint $\varrho$ sűrűségű gáz $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{\frac{2\Delta p}{\varrho }}}\end{array}$ sebességgel áramlik ki a rövid csövön. (A Bunsen-törvény azt fejezi ki, hogy a kiáramló gázon végzett munka csak a mozgási energiát növeli, a belső súrlódás nem számottevő.) Eszerint állandó $\varrho$ és $\alpha$ mellett a sebesség a sugár $\left(-\frac{1}{2}\right)$-ik hatványával arányos: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\sim r^{-1/2}\mathrm{.}}\end{array}$ Vegyünk a $D$ és $2D$ átmérőjű buborékok leeresztésének folyamatában $V$ és $8V$ térfogatoknak megfelelő pillanatokat. Ekkor a nagyobb (2-es jelű) buborék sugara a kisebb (1-es jelű) buborék sugarának kétszerese, így a nagyobbikból kiáramló levegő sebessége $1/\sqrt[]{2}$-ször kisebb, mint a kisebb buborékból távozó levegő sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=v_1/\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mennyi idő alatt lesz a 2-es buborék relatív térfogyatcsökkenése ugyanakkora, mint amennyi a kisebb buborék relatív térfogatváltozása $\Delta t_1$ idő alatt? Mivel a kiáramló levegő mindkét esetben ugyanakkora $A$ keresztmetszetű csövön távozik, fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{\Delta V_1}{V_1}=\frac{A{v}_1\Delta t_1}{V_1}=-\frac{\Delta V_2}{V_2}=\frac{A{v}_2\Delta t_2}{V_2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{V_2}{V_1}\cdot \frac{v_1}{v_2}=8\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha megint alkalmazzuk a filmlelassítás trükkjét, vagyis a nagyobb buborék leeresztéséról készült felvételt $8\sqrt[]{2}$-szörösen lelassítva játszuk le, a két buborék méretének relatív csökkenését minden pillanatban ugyanakkorának látjuk, így a teljes leeresztésük ideje is ugyanannyi lesz. A valóságban (valós időben mérve) a nagyobb méretű buborék mérete $\begin{array}{c}{\displaystyle T_2=8\sqrt[]{2}{T}_1\approx 90\text{s}}\end{array}$ idő alatt fog nullára csökkenni.