Feladat:	4647. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Péter ,  Fekete Panna ,  Gnädig Péter ,  Juhász Péter
Füzet:	2014/december, 563 - 565. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb elektrodinamika
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: 4647. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tekintsünk egy igen hosszú (,,végtelennek'' tekinthető), egyenletesen töltött szigetelő szálat. Ha az egységnyi hosszra jutó töltést (a vonalmenti töltéssűrűséget) $\lambda$-val jelöljük, akkor a száltól $r$ távolságban $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r}}\end{array}$ (1) nagyságú, a szálra merőlegesen ,,kifelé mutató'' elektromos térerősség alakul ki. Ezt a képletet például a Gauss-törvényből kaphatjuk meg, ha azt az 1. ábrán látható henger felületére alkalmazzuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)\cdot 2\pi r\ell =\frac{Q}{{\epsilon }_0}=\frac{\lambda \ell }{{\epsilon }_0}\mathrm{.}}\end{array}$ (2)   1. ábra   Vajon milyen erőteret (vagy erőtereket) észlel az a mozgó megfigyelő, aki $v_0$ nagyságú sebességgel mozog a szállal párhuzamosan? Ha ez a megfigyelő a száltól $r$ távolságban lévő $P$ pont kis környezetében vizsgálódik, ott az (1)-nek megfelelő (a $P$ pont kis környezetében homogénnek tekinthető) elektromos mező mellett mágneses mezőt is észlel, hiszen a hozzá képest $v_0$ sebességgel mozgó, elektromosan töltött szál $I=\lambda v_0$ nagyságú áramerősséget jelent. A mágneses indukció nagysága a $P$ pontban $\begin{array}{c}{\displaystyle B={\mu }_0\frac{I}{2\pi r}={\mu }_0\frac{\lambda v_0}{2\pi r}\mathrm{,}}\end{array}$ amit (1) alapján az elektromos térerősséggel is ki lehet fejezni: $\begin{array}{c}{\displaystyle B={\mu }_0{\epsilon }_{0}E{v}_0\mathrm{.}}\end{array}$ A mozgó megfigyelő által észlelt mágneses mező $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}$-re is és ${\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_0$-ra is merőleges (2. ábra), és az előjeleket, valamint a jobbkéz-szabályt és a is figyelembe véve így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">B</span></span>}\left(\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">r</span></span>}\right)=-\frac{1}{c^2}{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_0\times \text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}\left(\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">r</span></span>}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $c=1/\sqrt[]{{\mu }_0{\epsilon }_0}$ a fénysebesség vákuumban.   2. ábra     II. megoldás. Homogén elektromos mezőt például egy feltöltött síkkondenzátorral hozhatunk létre. A kondenzátor téglalap alakú lemezeinek oldalélei legyenek $a$ és $b$, távolságuk pedig a lemezek méreténél sokkal kisebb $d$ (3. ábra). Abban a $\text{K}$ koordináta-rendszerben, amelyhez képest a $\pm Q$ töltésű kondenzátor áll, csak elektromos mező észlelhető, ennek nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{Q}{{\epsilon }_{0}ab}\mathrm{.}}\end{array}$ Mágneses mező ‐ mivel nem folynak áramok ‐ nincs jelen, $B\equiv 0$.   3. ábra   Haladjon egy ,,mozgó'' megfigyelő ($M$) a síkkondenzátor lemezeinek $a$ hosszúságú oldalélével párhuzamosan (az $y$ tengely irányában), $v_0$ nagyságú sebességgel. Ez a megfigyelő azt látja, hogy a saját $\text{K}\text{'}$ vonatkoztatási rendszerében a töltött lemezek $v_0$ sebességgel mozognak a negatív $y\text{'}$ tengely irányában (4. ábra), ezek a lemezek tehát $\pm I$ erősségű áramokat ,,képviselnek''. Mivel a megfigyelő mellett $t_0=a/v_0$ idő alatt halad el $\pm Q$ töltés, az áramerősség nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{Q}{t_0}=\frac{Q{v}_0}{a}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek az áramok a lemezek közötti térrészben homogénnek tekinthető mágneses mezőt hoznak létre, kívül pedig elhanyagolható lesz a mágneses indukció nagysága. (Ezt a síkkondenzátor vagy a szolenoid terének meghatározásánál alkalmazni szokott érveléssel, a szimmetriára való hivatkozással láthatjuk be.)   4. ábra   A kondenzátor belsejében kialakuló $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">B</span></span>}$ mágneses indukcióvektor iránya a $b$ hosszúságú oldaléllel párhuzamos (a negatív $z\text{'}$ tengely irányába mutat), tehát $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}$-re és $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}$-re merőleges, nagysága pedig (az 5. ábrán látható $G$ görbére alkalmazott AmpŠre-féle gerjesztési törvény szerint) $\begin{array}{c}{\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}I}{b}=\frac{{\mu }_{0}Q{v}_0}{ab}={\mu }_0{\epsilon }_0{v}_{0}E=\frac{1}{c^2}{v}_{0}E\mathrm{.}}\end{array}$ A vektorok irányát és a jobbkéz-szabályt is figyelembe véve a mozgó megfigyelő által észlelt mágneses mező $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">B</span></span>}=-\frac{1}{c^2}{\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">v</span></span>}}_0\times \text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">E</span></span>}}\end{array}$ alakban adható meg.   5. ábra     Megjegyzés. A megoldásban szereplő képletek csak $v_0\ll c$ esetben, vagyis a fénysebességhez képest lassú mozgásokra érvényesek. A pontosabb ,,relativisztikus'' formulákban $\sqrt[]{1-{\left(v_0/c\right)}^2}$-es faktorok is megjelennek, ezeket azonban a lassú (nemrelativisztikus) mozgásoknál 1-gyel helyettesíthetjük. Látszólag következetlenül járunk el, amikor a levezetett képlet szerinti mágneses mezőt nem tekintjük nullának, jóllehet abban is megjelent egy $1/c^2$-es faktor. Itt azonban nem két (nagyságrendileg különböző) tag összegéről, hanem egyetlen tag szorzótényezőjéről van szó, amelyről ‐ viszonyítási alap nélkül ‐ önmagában nem állíthatjuk, hogy kicsi vagy nagy lenne. Ha a mozgás által ,,indukált'' mágneses mező mellett van más, nála sokkal erősebb mágneses mező, akkor a feladatban számolt mágneses hatás természetesen elhanyagolható, ilyen hiányában azonban bármilyen kicsiny (az elektromos mezőből származó) $B$ indukció lényeges szerepet kaphat.