Feladat:	4544. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/december, 560 - 561. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/május: 4544. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tételezzük fel, hogy a mérleg nagyon pontosan mér, és csupán a véges sok számjegyű kijelző korlátozza a mért tömegek ,,igazi'' értékének megismerését. Legyen a ceruza, a toll és a radír tényleges tömege rendre $c$, $t$ és $r$, és a gramm mértékegységet ne írjuk ki a továbbiakban. A megadott mérési adatok szerint ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 0\mathrm{,}5}& {\displaystyle <c<1\mathrm{,}\mathrm{5,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 0\mathrm{,}5}& {\displaystyle <t<1\mathrm{,}\mathrm{5,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 0\mathrm{,}5}& {\displaystyle <r<1\mathrm{,}\mathrm{5,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}5}& {\displaystyle <c+t<2\mathrm{,}\mathrm{5,}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}5}& {\displaystyle <c+r<2\mathrm{,}\mathrm{5,}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 2\mathrm{,}5}& {\displaystyle <c+t+r<3\mathrm{,}\mathrm{5,}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \text{és végül}}\\ \hfill {\displaystyle 2\mathrm{,}5}& {\displaystyle <t+r<3\mathrm{,}5.}\hfill & \text{(<mn>7</mn>)}\end{array}}$   Megjegyzés. Ha a kijelző grammos pontosságát a kerekítés matematikai műveletével azonosítanánk, akkor a (1) helyett $0\mathrm{,}5\le c<1\mathrm{,}5$-t kellett volna írnunk, és hasonlóan a többieknél is. Mivel azonban a tömegek fizikai mennyiségek, nincs értelme a ,,pontosan egyenlő'' esetek vizsgálatának. Ez éppen olyan értelmetlen kérdés lenne, mint az, hogy vajon a ceruza tömege (grammokban kifejezve) racionális szám-e, vagy esetleg irracionális?   A (6) és (7) egyenlőtlenségekből $\begin{array}{c}{\displaystyle c+2\mathrm{,}5<c+t+r<3\mathrm{,}\mathrm{5,}\text{vagyis}c<1}\end{array}$ következik, amit (1)-gyel összevetve a ceruza tömegére a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}5<c<1\mathrm{,}0}\end{array}$ (8) megszorítás adódik. Hasonló módon kapjuk (3)-ból és (7)-ből: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\mathrm{,}5<t+r<t+1\mathrm{,}\mathrm{5,}\text{tehát}t>1\mathrm{,}0;}\end{array}$ illetve (2)-ből és (7)-ből: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\mathrm{,}5<t+r<1\mathrm{,}5+r\mathrm{,}\text{ahonnan}r>1\mathrm{,}0.}\end{array}$ A radír és a toll tömegére tehát az $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\mathrm{,}0<r<1\mathrm{,}5\text{és}1\mathrm{,}0<t<1\mathrm{,}5}\end{array}$ (9) korlátok érvényesek. Végül a három test össztömegére (1) és (7), valamint (6) összevetéséből a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(t+r\right)+c>2\mathrm{,}5+0\mathrm{,}\mathrm{5,}\text{és}t+r+c<3\mathrm{,}\mathrm{5,}}\end{array}$ tehát a $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\mathrm{,}0<t+r+c<3\mathrm{,}5}\end{array}$ (10) megszorítás érvényes. Belátható, hogy a (8), (9) és (10) egyenlőtlenségek tovább nem élesíthetőek. A kapott eredmény azt mutatja, hogy egy véges pontosságú kijelzővel rendelkező mérőeszköz (a valóságban minden műszer ilyen) mérési eredményeit oly módon is pontosabbá tehetjük, hogy ugyanezzel a műszerrel többféle ,,kombinációban'' hajtunk végre méréseket.