Kezdőlap


Feladat:	2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/november, 499 - 502. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb kinetikus gázelmélet, Szabad úthossz, Egyéb áramkörök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rész. Nem önfenntartó gázkisülés
A1. Minthogy az elektronok és ionok párokban keletkeznek, sűrűségük minden időpillanatban megegyezik, $n_{e} (t) = n_{i} (t) = n (t)$ . Az elektronok sűrűsége a külső besugárzás miatt nő, a rekombináció miatt csökken, így az

\begin{matrix} \dot{n} (t) = Z_{ext} - Z_{rek} = Z_{ext} - r n^{2} \end{matrix}

differenciálegyenlet írható föl. A feladat szerint az egyenlet megoldását

n (t) = n_{0} + a th (b t)

alakban kereshetjük. Az

n (0) = 0

kezdeti feltétel miatt

n_{0} = 0

. Ezután az

n (t) = a th (b t)

függvényt beírva a differenciálegyenletbe, figyelembe véve, hogy

th' x = \frac{1}{ch^{2} x}

, valamint, hogy

ch^{2} x - sh^{2} x = 1

, rövid számolás után azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a = \sqrt[]{\frac{Z_{ext}}{r}}, b = \sqrt[]{r Z_{ext}} . \end{matrix}

A2. Egyetlen,

Z_{ext}

erősségű külső ionizáló esetén az egyensúlyi elektronsűrűség

\begin{matrix} n_{e} = {lim}_{t \to \infty}^{} a th (b t) = a = \sqrt[]{\frac{Z_{ext}}{r}}, \end{matrix}

(13)

ahonnan

Z_{ext} = r n_{e}^{2}

, tehát két ionizálót együtt használva

Z_{ext,1} + Z_{ext,2} = r n_{e}^{2}

, így

\begin{matrix} n_{e} = \sqrt[]{\frac{Z_{ext,1}}{r} + \frac{Z_{ext,2}}{r}} = \sqrt[]{n_{e1}^{2} + n_{e2}^{2}} = 2 \cdot 10^{11} \frac{1}{{cm}^{3}} . \end{matrix}

A3. Minthogy az elektronok és ionok sűrűsége és mobilitása is megegyezik, a két töltéshordozó mozgásából származó elektromos áram is megegyezik, tehát

I = I_{e} + I_{i} = 2 I_{e}

. Az

L

hosszú,

S

keresztmetszetű csőben levő elektronok száma egyrészt a besugárzás miatt

L S Z_{ext}

-tel nő, másrészt, a rekombináció, illetve a kiáramlás miatt

S L r n_{e}^{2}

-tel, illetve

v S n_{e}

-vel csökken időegységenként. Egyensúly esetén az elektronok száma nem változik, tehát

\begin{matrix} S L Z_{ext} - S L r n_{e}^{2} - v S n_{e} = 0. \end{matrix}

Felhasználva, hogy az elektronok driftsebessége

v = β E = β \frac{U}{L}

, a másodfokú egyenlet pozitív megoldása

n_{e}

-re:

\begin{matrix} n_{e} = \frac{β U}{2 r L^{2}} (\sqrt[]{1 + \frac{4 r L^{4} Z_{ext}}{β^{2} U^{2}}} - 1) . \end{matrix}

(14)

A keresett áramerősség:

\begin{matrix} I = 2 I_{e} = 2 e n_{e} v S = \frac{e S β^{2} U^{2}}{r L^{3}} (\sqrt[]{1 + \frac{4 r L^{4} Z_{ext}}{β^{2} U^{2}}} - 1) . \end{matrix}

(15)

A4. Kis

U

feszültség esetén a (15) kifejezésben a gyökjel alatti második tag mellett az első,

+ 1

tag, és a gyökvonás után a

- 1

is elhanyagolható, tehát ekkor

\begin{matrix} I \approx \frac{e S β^{2} U^{2}}{r L^{3}} \sqrt[]{\frac{4 r L^{4} Z_{ext}}{β^{2} U^{2}}} = \frac{2 e S β U}{L} \sqrt[]{\frac{Z_{ext}}{r}} . \end{matrix}

(Ugyanezt az eredményt kapjuk akkor is, ha (15) egyenletben az

n_{e}

elektronsűrűség helyére nem a (14) kifejezést, hanem a zérus feszültség mellett kapott (13) értéket helyettesítjük.)
Ezt felhasználva a gáz fajlagos ellenállása:

\begin{matrix} ρ = \frac{U S}{I L} = \frac{1}{2 e β} \sqrt[]{\frac{r}{Z_{ext}}} . \end{matrix}

B rész. Önfenntartó gázkisülés. Ebben a részben az egyensúlyi áramot tanulmányozzuk, így az elektronok

n_{e}

és az ionok

n_{i}

sűrűsége nem függ az időtől, viszont az elektronlavina miatt függ a helytől. A feladat feltevése értelmében az

E = \frac{U}{L}

elektromos tér a cső mentén homogén, és az elektronok valamint ionok sebessége

v = β E

állandó.
B1. Ahogy a feladatban szerepel, az

x

tengely mutasson az

L

hosszúságú gázcső mentén a növekvő elektromos potenciál irányába, azaz az elektronok mozgásának irányába. Az

x

és

x + d x

közti szeletben levő elektronok száma egyrészt a besugárzás miatt

Z_{ext} S d x

-szel, az elektronok beáramlása miatt

v S n_{e} (x)

-szel, az elektronlavina miatt pedig

α v S n_{e} (x) d x

-szel nő, másrészt, az elektronok kiáramlása miatt

v S n_{e} (x + d x)

-szel csökken időegységenként. Állandósult áramlás esetén azonban a teljes elektronszám nem változik, tehát

\begin{matrix} 0 = {\underset{︸}{Z_{ext} S d x}}_{besugárzás}^{} + {\underset{︸}{v S n_{e} (x)}}_{beáramlás}^{} + {\underset{︸}{α v S n_{e} (x) d x}}_{elektronlavina}^{} - {\underset{︸}{v S n_{e} (x + d x)}}_{kiáramlás}^{} . \end{matrix}

Az egyenletet

d x

-szel osztva, és felhasználva, hogy az elektronok által képviselt áram

I_{e} (X) = e v S n_{e} (x)

, az

\begin{matrix} I'_{e} (x) = e S Z_{ext} + α I_{e} (x) \end{matrix}

differenciálegyenletet kapjuk, melybe behelyettesítve a megadott

I_{e} (x) = C_{1} e^{A_{1} x} + A_{2}

kísérletező függvényt, rövid számolás után az

\begin{matrix} A_{1} = α, A_{2} = - \frac{e S Z_{ext}}{α}, I_{e} (x) = C_{1} e^{α x} - \frac{e S Z_{ext}}{α} & (16) \end{matrix}

eredmények adódnak. (A képletekben

e

az elemi töltés,

e

pedig az Euler-féle szám.)
B2. Gondolatmenetünk az elektronáram esetéhez hasonló; állandósult áramlás esetén az

x

és

x + d x

közti szeletben az ionok száma nem változik, tehát

\begin{matrix} 0 = {\underset{︸}{Z_{ext} S d x}}_{besugárzás}^{} - {\underset{︸}{v S n_{i} (x)}}_{kiáramlás}^{} + {\underset{︸}{α v S n_{e} (x) d x}}_{elektronlavina}^{} + {\underset{︸}{v S n_{i} (x + d x)}}_{beáramlás}^{} . \end{matrix}

(Az ionok ellentétes mozgása miatt a második és negyedik tag előjele megváltozott, és az elektronlavinát leíró tagban nem

n_{i}

, hanem továbbra is

n_{e}

szerepel!) Innen az elektronáramra kapott (16) eredményt is felhasználva az

\begin{matrix} I'_{i} (x) = - e S Z_{ext} - α I_{e} (x) = - α C_{1} e^{α x} \end{matrix}

összefüggés adódik, amit az adott

I_{i} (x) = C_{2} + B_{1} e^{B_{2} x}

formulával összevetve a

\begin{matrix} B_{1} = - C_{1}, B_{2} = α, I_{i} (x) = C_{2} - C_{1} e^{α x} & (17) \end{matrix}

eredményhez jutunk.
B3. Mivel az anódból nem lépnek ki ionok, ezért

I_{i} (L) = 0

.
B4. A másodlagos elektronkeltés definíciójának értelmében

I_{e} (0) = γ I_{i} (0)

.
B5. Az előző két pontban kapott határfeltételekbe beírva a (16) és (17) formulákat megkaphatjuk a hiányzó

C_{1}

és

C_{2}

együtthatókat:

\begin{matrix}  \end{matrix}

C2-C1eαL=0C1-eSZextα=γ(C2-C1)

}⇒

C1=eSZextα⋅11+γ(1-eαL)C2=eSZextα⋅1e-αL(1+γ)-γ.

A teljes áram az ionok és az elektronok járulékának összege. Ahogy várjuk, ez már nem függ az

x

helytől, és értéke:

\begin{matrix} I = I_{e} (x) + I_{i} (x) = C_{2} - \frac{e S Z_{ext}}{α} = \frac{e S Z_{ext}}{α} (\frac{1}{e^{- α L} (1 + γ) - γ} - 1) . \end{matrix}

(18)

B6. Elég hosszú cső esetén az elektronlavinából keletkező elektronok elegendő töltéshordozót biztosítanak az áram fenntartásához (sőt, növeléséhez) külső gerjesztés nélkül is. A (18) képletből látszik, hogy ahogy

L

értékét növeljük,

I

nő, és

L ↗ L_{kr}

esetén

I \to \infty

. Az

L_{kr}

kritikus hossz a (18) képletben szereplő tört nevezőjének zérushelye:

\begin{matrix} e^{- α L_{kr}} (1 + γ) - γ = 0 \Rightarrow L_{kr} = \frac{1}{α} ln (\frac{1 + γ}{γ}) . \end{matrix}