A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Helyezzük el az üvegrudat (az ábrán látható módon) egy olyan koordináta-rendszerbe, amelynek tengelye a rúd szimmetriatengelye, az origója pedig a legömbölyített végének ,,csúcspontja''. Legyen a legömbölyített forgásfelületet jellemző görbének (a felület vezérgörbéjének) egyenlete: , célunk ezen függvény meghatározása.
Egy távoli fényforrásból a negatív tengely irányából (gyakorlatilag) párhuzamosan érkező fénysugarak mindegyike ugyanabban a pontban, az origótól távolságban éri el az optikai tengelyt. A Fermat-elv szerint a fénysugarak olyan útvonalon jutnak el a fényforrásból egy tetszőlegesen kiválasztott pontba, amely útvonalon a fény terjedésének ideje a közeli (szomszédos) útvonalakhoz viszonyítva minimális. Esetünkben a fény többféle úton is eljuthat a fényforrásból a fókuszpontba, ez csak úgy teljesítheti a Fermat-elv feltételét, ha mindegyik úton ugyanannyi a fény terjedési ideje. A távoli fényforrásból a levegőben majdnem pontosan párhuzamosan haladó fénysugarak az síkot ugyanannyi idő alatt érik el. Elegendő tehát az időtartamok egyenlőségét ettől a síktól a fókuszpontig vizsgálni. Az időtartamok a tényleges út hosszának és a törésmutatónak szorzatával (az ún. optikai úthosszal) arányosak. A Fermat-elv állítása szerint a levegőben megtett hosszúságú út és az üvegben befutott optikai úthossz összege minden -re ugyanakkora, -től független állandó kell hogy legyen. Ez az állandó az optikai tengely mentén haladó sugárra nyilván . A párhuzamos sugarakat ,,tökéletesen'' fókuszáló üvegrúd legömbölyítésének egyenlete tehát:
ami algebrai áralakítások után
alakra hozható, ahol
Ez az egyenlet egy és féltengelyekkel rendelkező ellipszist ír le, az üvegrúd legömbölyítése tehát forgásellipszoid alakú felület. Az üvegrúd átmérője legfeljebb akkora lehet, mint az ellipszis kistengelye.
Megjegyzés. Érdekes, hogy az ellipszis távolabbi geometriai fókuszpontja éppen az üvegrúd optikai fókuszpontjával esik egybe, továbbá az ellipszis lapultságára jellemző szám, az excentricitás az üveg törésmutatójának reciprokával egyenlő.
|
|