Feladat:	4646. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antalicz Balázs ,  Fehér Zsombor
Füzet:	2014/október, 440 - 441. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fermat-elv
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: 4646. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Helyezzük el az üvegrudat (az ábrán látható módon) egy olyan koordináta-rendszerbe, amelynek $y$ tengelye a rúd szimmetriatengelye, az origója pedig a legömbölyített végének ,,csúcspontja''. Legyen a legömbölyített forgásfelületet jellemző görbének (a felület vezérgörbéjének) egyenlete: $y=f\left(x\right)$, célunk ezen függvény meghatározása.     Egy távoli fényforrásból a negatív $y$ tengely irányából (gyakorlatilag) párhuzamosan érkező fénysugarak mindegyike ugyanabban a pontban, az origótól $f$ távolságban éri el az optikai tengelyt. A Fermat-elv szerint a fénysugarak olyan útvonalon jutnak el a fényforrásból egy tetszőlegesen kiválasztott pontba, amely útvonalon a fény terjedésének ideje a közeli (szomszédos) útvonalakhoz viszonyítva minimális. Esetünkben a fény többféle úton is eljuthat a fényforrásból a fókuszpontba, ez csak úgy teljesítheti a Fermat-elv feltételét, ha mindegyik úton ugyanannyi a fény terjedési ideje. A távoli fényforrásból a levegőben majdnem pontosan párhuzamosan haladó fénysugarak az $y=0$ síkot ugyanannyi idő alatt érik el. Elegendő tehát az időtartamok egyenlőségét ettől a síktól a fókuszpontig vizsgálni. Az időtartamok a tényleges út hosszának és a törésmutatónak szorzatával (az ún. optikai úthosszal) arányosak. A Fermat-elv állítása szerint a levegőben megtett $y$ hosszúságú út és az üvegben befutott $n\sqrt[]{x^2+{\left(f-y\right)}^2}$ optikai úthossz összege minden $x$-re ugyanakkora, $x$-től független állandó kell hogy legyen. Ez az állandó az optikai tengely mentén haladó sugárra nyilván $nf$. A párhuzamos sugarakat ,,tökéletesen'' fókuszáló üvegrúd legömbölyítésének egyenlete tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle y+n\sqrt[]{x^2+{\left(f-y\right)}^2}=nf\mathrm{,}}\end{array}$ ami algebrai áralakítások után $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}+\frac{{\left(y-a\right)}^2}{a^2}=1}\end{array}$ alakra hozható, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{n}{n+1}f\text{és}b=\sqrt[]{\frac{n-1}{n+1}}f\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az egyenlet egy $a$ és $b$ féltengelyekkel rendelkező ellipszist ír le, az üvegrúd legömbölyítése tehát forgásellipszoid alakú felület. Az üvegrúd átmérője legfeljebb akkora lehet, mint az ellipszis $2b$ kistengelye.   Megjegyzés. Érdekes, hogy az ellipszis távolabbi geometriai fókuszpontja éppen az üvegrúd optikai fókuszpontjával esik egybe, továbbá az ellipszis lapultságára jellemző szám, az excentricitás az üveg törésmutatójának reciprokával egyenlő.