Feladat:	4626. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér Zsombor ,  Horicsányi Attila ,  Janzer Barnabás ,  Sal Kristóf
Füzet:	2014/október, 436 - 438. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Megosztás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: 4626. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ A $\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math>}$ kapcsoló zárásával a gömbök (a végtelenben választott nullszinthez képest) $U/2$ és $-U/2$ potenciálra töltődnek fel, mert a helyzetük (a töltésük előjelétől eltekintve) szimmetrikus, és a potenciáljaik különbsége a telep $U$ feszültsége. Az $r$ sugarú gömbkondenzátor kapacitása $C=4\pi {\epsilon }_{0}r$, így a gömbök töltésének nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle Q_a=C\frac{U}{2}=2\pi {\epsilon }_{0}rU\mathrm{,}}\end{array}$ a töltések előjele pedig ellentétes lesz. (Ez az összefüggés szigorúan véve csak akkor lenne igaz, ha egyetlen gömböt töltenénk fel $U/2$ potenciálra, és a másik gömb nem lenne jelen. Mivel azonban fennáll $d\gg r$, jó közelítéssel állíthatjuk, hogy egyik gömb sem ,,zavarja'' a másik gömb elektromos terét, az lényegében ugyanolyan, mintha a töltött gömb csak egymaga lenne.) A gömbök távolsága sokkal nagyobb, mint a méretük (sugaruk), emiatt a közöttük fellépő vonzóerő számítható úgy, mint a ponttöltéseknél: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_a^2}{d^2}=\pi {\epsilon }_0{U}^2{\left(\frac{r}{d}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   A további megfontolásainkat a könnyebb $c)$ esettel kezdjük, majd utána térünk rá a nehezebb $b)$ kérdésre.   $c)$ Legyen a bal oldali gömb $A$ jelű, a jobb oldali pedig $B$. Ha mindkét kapcsolót zárjuk, akkor az $A$ gömb potenciálja $U$ lesz, a $B$ gömb potenciálja pedig nulla marad. Az $A$ gömb $\begin{array}{c}{\displaystyle Q_c=CU=4\pi {\epsilon }_{0}rU}\end{array}$ töltésre töltődik fel, ami a kezdetben semleges $B$ fémgömb felületén töltésátrendeződést (és a földelésen keresztül egy csekély feltöltődést) hoz létre úgy, hogy a $B$ gömb felülete továbbra is mindenhol nulla potenciálú legyen. A tükörtöltés (gömbi inverzió) módszere szerint a $B$ gömbön kívül kialakuló elektromos mező éppen olyan, amilyent a $d$ távol levő (pontszerűnek tekinthető) $Q_c$ töltés és egy másik, $-q=-Q_c\cdot \left(r/d\right)$ töltésű, a gömb középpontjától $x=r^2/d$ távolságban lévő tükörtöltés hozna létre. Az ábra (amelynek arányai az áttekinthetőség kedvéért erősen eltérnek a feladatban szereplő esettől) a pontszerű töltéssel helyettesített $A$ gömb és a tükörtöltés együttes elektromos terét mutatja a gömbön kívül, illetve annak belsejében.   Ellenőrizhető, hogy ekkor a $B$ gömb felületének minden pontjára igaz: a valódi $Q_c$ töltéstől és a tükörtöltéstől mért távolságának aránya ugyanakkora (nevezetesen $r/d$), vagyis a $B$ gömb a töltés és a tükörtöltés Apollóniusz-gömbje. Emiatt a töltés és a tükörtöltés által létrehozott potenciál a $B$ gömb felületének minden pontjában valóban nulla.     1. ábra   A $B$ gömb össztöltése $-Q_c\cdot \left(r/d\right)$ sokkal kisebb az $A$ gömb töltésénél, így az nem okoz számottevő töltésátrendeződést az $A$ gömbön. Mindkét töltést ($d\gg r$ miatt) pontszerűnek tekinthetjük, és a távolságukat $d$-vel közelíthetjük, így a gömbök között fellépő vonzóerő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_c=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q_c\cdot Q_c\frac{r}{d}}{d^2}=4\pi {\epsilon }_0{U}^2{\left(\frac{r}{d}\right)}^3\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Ha csak a $\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math>}$ kapcsolót zárjuk, akkor az $A$ gömb $U$ potenciálra, $Q_c=CU$ töltésre (vagyis az előbbi esettel megegyező mértékben) töltődik fel, míg a $B$ gömb össztöltése nulla marad, miközben a felülete ekvipotenciális (jóllehet nem nulla potenciálú) marad. Az utóbbi feltétel a középponttól $r^2/d$ távolságben elhelyezett $-Q_c\cdot \left(r/d\right)$ nagyságú tükörtöltéssel biztosítható, a nulla össztöltés feltétele pedig a gömb középpontjába helyezett $+Q_c\cdot \left(r/d\right)$ töltéssel elégíthető ki. (A középpontban lévő ,,második tükörtöltés'' szerencsére nem rontja el a gömbfelület ekvipotenciális jellegét.) A kétféle tükörtöltés elektromos tere (a valódi töltés terével együtt) csak a $B$ gömbön kívül írja le a tényleges elektromos mezőt, a gömb belsejében a térerősség nulla. A $B$ gömb által az $A$ gömbre kifejtett erő a $Q_c$ töltéstől $d-\left(r^2/d\right)$ távol lévő $-Q_c\cdot \left(r/d\right)$ tükörtöltés vonzóerejének és a $d$ távolságban található $+Q_c\cdot \left(r/d\right)$ töltés által kifejtett taszítóerőnek az eredője. (Ezen két erő csak a töltések eltérő távolsága miatt különböző nagyságú.) Felhasználva, hogy $d\gg r$: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{(d-\frac{r^2}{d}{)}^2}-\frac{1}{d^2}=\frac{d^2-(d-\frac{r^2}{d}{)}^2}{(d-\frac{r^2}{d}{)}^2{d}^2}=\frac{(2d-\frac{r^2}{d})\frac{r^2}{d}}{(d-\frac{r^2}{d}{)}^2{d}^2}\approx \frac{2r^2}{d^4}\mathrm{,}}\end{array}$ a gömbök közötti vonzóerő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_b=\frac{Q_c\cdot Q_c\frac{r}{d}}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{(d-\frac{r^2}{d}{)}^2}-\frac{1}{d^2}\right)\approx 8\pi {\epsilon }_0{U}^2{\left(\frac{r}{d}\right)}^5\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Látható, hogy az erőhatás az $a)$ esetben a legerősebb, itt az $U$ feszültséggel arányos töltések közötti Coulomb-erő jelenik meg (bár ez az erő a gömbök nagy távolsága miatt igencsak gyenge). A $c)$ esetben az $A$ fémgömb számottevően feltöltődik, de $B$-re csak a távoli $A$ gömb elektromos terének hatására kerül (a földelésből) egy kevés töltés. Végül a $b)$ esetben a telep hatására feltöltött egyik gömb megosztást hoz létre a másik gömbön, és a töltések átrendeződése ($A$-tól mért távolságuk megváltozása) okoz még a $c)$ esetnél is sokkal kisebb erőhatást.  Fehér Zsombor dolgozata alapján