A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A kapcsoló zárásával a gömbök (a végtelenben választott nullszinthez képest) U/2 és -U/2 potenciálra töltődnek fel, mert a helyzetük (a töltésük előjelétől eltekintve) szimmetrikus, és a potenciáljaik különbsége a telep U feszültsége. Az r sugarú gömbkondenzátor kapacitása C=4πε0r, így a gömbök töltésének nagysága a töltések előjele pedig ellentétes lesz. (Ez az összefüggés szigorúan véve csak akkor lenne igaz, ha egyetlen gömböt töltenénk fel U/2 potenciálra, és a másik gömb nem lenne jelen. Mivel azonban fennáll d≫r, jó közelítéssel állíthatjuk, hogy egyik gömb sem ,,zavarja'' a másik gömb elektromos terét, az lényegében ugyanolyan, mintha a töltött gömb csak egymaga lenne.) A gömbök távolsága sokkal nagyobb, mint a méretük (sugaruk), emiatt a közöttük fellépő vonzóerő számítható úgy, mint a ponttöltéseknél: | Fa=14πε0Qa2d2=πε0U2(rd)2. |
A további megfontolásainkat a könnyebb c) esettel kezdjük, majd utána térünk rá a nehezebb b) kérdésre.
c) Legyen a bal oldali gömb A jelű, a jobb oldali pedig B. Ha mindkét kapcsolót zárjuk, akkor az A gömb potenciálja U lesz, a B gömb potenciálja pedig nulla marad. Az A gömb töltésre töltődik fel, ami a kezdetben semleges B fémgömb felületén töltésátrendeződést (és a földelésen keresztül egy csekély feltöltődést) hoz létre úgy, hogy a B gömb felülete továbbra is mindenhol nulla potenciálú legyen. A tükörtöltés (gömbi inverzió) módszere szerint a B gömbön kívül kialakuló elektromos mező éppen olyan, amilyent a d távol levő (pontszerűnek tekinthető) Qc töltés és egy másik, -q=-Qc⋅(r/d) töltésű, a gömb középpontjától x=r2/d távolságban lévő tükörtöltés hozna létre. Az ábra (amelynek arányai az áttekinthetőség kedvéért erősen eltérnek a feladatban szereplő esettől) a pontszerű töltéssel helyettesített A gömb és a tükörtöltés együttes elektromos terét mutatja a gömbön kívül, illetve annak belsejében.
Ellenőrizhető, hogy ekkor a B gömb felületének minden pontjára igaz: a valódi Qc töltéstől és a tükörtöltéstől mért távolságának aránya ugyanakkora (nevezetesen r/d), vagyis a B gömb a töltés és a tükörtöltés Apollóniusz-gömbje. Emiatt a töltés és a tükörtöltés által létrehozott potenciál a B gömb felületének minden pontjában valóban nulla. 1. ábra A B gömb össztöltése -Qc⋅(r/d) sokkal kisebb az A gömb töltésénél, így az nem okoz számottevő töltésátrendeződést az A gömbön. Mindkét töltést (d≫r miatt) pontszerűnek tekinthetjük, és a távolságukat d-vel közelíthetjük, így a gömbök között fellépő vonzóerő: | Fc=14πε0Qc⋅Qcrdd2=4πε0U2(rd)3. |
b) Ha csak a K1 kapcsolót zárjuk, akkor az A gömb U potenciálra, Qc=CU töltésre (vagyis az előbbi esettel megegyező mértékben) töltődik fel, míg a B gömb össztöltése nulla marad, miközben a felülete ekvipotenciális (jóllehet nem nulla potenciálú) marad. Az utóbbi feltétel a középponttól r2/d távolságben elhelyezett -Qc⋅(r/d) nagyságú tükörtöltéssel biztosítható, a nulla össztöltés feltétele pedig a gömb középpontjába helyezett +Qc⋅(r/d) töltéssel elégíthető ki. (A középpontban lévő ,,második tükörtöltés'' szerencsére nem rontja el a gömbfelület ekvipotenciális jellegét.) A kétféle tükörtöltés elektromos tere (a valódi töltés terével együtt) csak a B gömbön kívül írja le a tényleges elektromos mezőt, a gömb belsejében a térerősség nulla. A B gömb által az A gömbre kifejtett erő a Qc töltéstől d-(r2/d) távol lévő -Qc⋅(r/d) tükörtöltés vonzóerejének és a d távolságban található +Qc⋅(r/d) töltés által kifejtett taszítóerőnek az eredője. (Ezen két erő csak a töltések eltérő távolsága miatt különböző nagyságú.) Felhasználva, hogy d≫r: | 1(d-r2d)2-1d2=d2-(d-r2d)2(d-r2d)2d2=(2d-r2d)r2d(d-r2d)2d2≈2r2d4, | a gömbök közötti vonzóerő: | Fb=Qc⋅Qcrd4πε0(1(d-r2d)2-1d2)≈8πε0U2(rd)5. |
Megjegyzés. Látható, hogy az erőhatás az a) esetben a legerősebb, itt az U feszültséggel arányos töltések közötti Coulomb-erő jelenik meg (bár ez az erő a gömbök nagy távolsága miatt igencsak gyenge). A c) esetben az A fémgömb számottevően feltöltődik, de B-re csak a távoli A gömb elektromos terének hatására kerül (a földelésből) egy kevés töltés. Végül a b) esetben a telep hatására feltöltött egyik gömb megosztást hoz létre a másik gömbön, és a töltések átrendeződése (A-tól mért távolságuk megváltozása) okoz még a c) esetnél is sokkal kisebb erőhatást.
Fehér Zsombor dolgozata alapján
|
|