Feladat:	4622. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh András
Füzet:	2014/szeptember, 375 - 376. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Áram hőhatása (Joule-hő)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: 4622. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mindegyik ágban $n$ darab sorosan kapcsolt galvánelem található, ezek helyettesíthetők egyetlen $n{U}_0$ üresjárati feszültségű és $n{R}_{\text{b}}$ belső ellenállású áramforrással. Ha $N/n$ számú ilyen ágat párhuzamosan kapcsolunk, az üresjárati feszültség nem változik, a telep belső ellenállása viszont az egyes ágak belső ellenállásának $N/n$-ed részére csökken, tehát $\frac{n^2}{N}{R}_{\text{b}}=\frac{n^2}{100}{R}_{\text{b}}$ lesz. Ha a telepre $R$ nagyságú külső ellenállást kapcsolunk, a kialakuló (teljes) áramerősség $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{n{U}_0}{\frac{n^2}{100}{R}_{\text{b}}+R}\mathrm{,}}\end{array}$ a fogyasztóra jutó teljesítmény pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle P=R{I}^2=R{\left(\frac{n{U}_0}{\frac{n^2}{100}{R}_{\text{b}}+R}\right)}^2=\frac{U_0^2/R}{(\frac{n{R}_{\text{b}}}{100R}+\frac{1}{n}{)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a kifejezés ($n$ függvényében) akkor a legnagyobb, amikor a nevező a legkisebb. A nevezőt alulról becsülhetjük a számtani‐mértani közép közti egyenlőtlenséggel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{n{R}_{\text{b}}}{100R}+\frac{1}{n}\right)}^2\ge 4\cdot \frac{n{R}_{\text{b}}}{100R}\cdot \frac{1}{n}=\frac{R_{\text{b}}}{25R}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyenlőség akkor, és csak akkor áll fenn, ha a közepekben szereplő két mennyiség megegyezik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n{R}_{\text{b}}}{100R}=\frac{1}{n}\mathrm{,}\text{vagyis}n=10\sqrt[]{\frac{R}{R_{\text{b}}}}\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti számításból kapott $n$ csak akkor fogadható el a feladat megoldásaként, ha $n$ egész és osztója $N=100$-nak. Az $a)$ és $b)$ esetekben ez teljesül, és a telep $n_a=10$-nek, illetve $n_b=20$-nak megfelelő elrendezésben adja le a legnagyobb teljesítményt az $R$ ellenálláson. A $c)$ esetben azonban $n_c$-re a $10\sqrt[]{5}\approx 22\mathrm{,}3$ számot kapjuk, ami nem egész! Ebben az esetben meg kell vizsgálnunk, hogy vajon 100-nak $n>n_c$ osztói közül a legkisebbnél, vagy $n<n_c$ osztói közül a legnagyobbnál nagyobb-e a leadott teljesítmény. Most $n=20$ és $n=25$ jöhet szóba, és mindkettőhöz ugyanakkora leadott teljesítmény tartozik, a feladatnak tehát $R=5R_{\text{b}}$ esetben 2 megoldása van.