Feladat:	4615. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Asztalos Bogdán ,  Fehér Zsombor ,  Gnädig Péter
Füzet:	2014/szeptember, 371 - 373. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Nyújtás, összenyomás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 4615. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Az emelés közben a rugón munkát végzünk: egyrészt megemeljük a tömegközéppontját; másrészt megnyújtjuk a rugót. Számítsuk ki a rugó gravitációs helyzeti energiájának és a rugalmas energiájának megváltozását, ezek összege éppen a kérdéses munkával egyenlő. A slinky megnyúlását a saját súlya okozza, de ez a megnyúlás nem egyenletes. A megemelt rugó tetejét nagyobb, az alját pedig kisebb erő terheli, emiatt a rugó felső felén ritkábban, az alján pedig sűrűbben helyezkednek el a menetek. A rugó teljes megnyúlását egy elfogadható modell alapján számíthatjuk ki. Gondolatban felosztjuk az $m$ tömegű slinky-t $n$ darab $\left(n\gg 1\right)$ kisebb, tömegtelen rugóra, és mindegyik kis rugó alsó végéhez egy-egy $m/n$ tömegű, pontszerű testet képzelünk. Ha az egész slinky rugóállandója $D$, akkor a kis rugók rugóállandója $nD$, hiszen ugyanakkora feszítőerő hatására mindegyikük megnyúlása csak $n$-ed része az egész rugó megnyúlásának. A függőlegesen lelógó rugó egyes darabkáit különböző nagyságú erő feszíti, így a megnyúlásuk is különböző lesz. A modell szerint a legalsó kis rugót $mg/n$ erő feszíti, így a megnyúlása (vagyis a hossza, hiszen a feszítetlen hosszát nullának vehetjük): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_1=\frac{\left(m/n\right)g}{nD}=\frac{mg}{n^{2}D}\mathrm{.}}\end{array}$ Az alulról számított második rugót $2\left(m/n\right)g$ erő terheli, a megnyúlása tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_2=2\frac{\left(m/n\right)g}{nD}=2\frac{mg}{n^{2}D}\mathrm{,}}\end{array}$ és általánosan, a $k$-adik rugócska megnyúlása $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_k=k\frac{\left(m/n\right)g}{nD}=k\frac{mg}{n^{2}D}\mathrm{.}}\end{array}$ A kis rugók hosszát összeadva a megemelt slinky teljes $L$ hosszát kell kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle L=\sum _{k=1}^n{\ell }_k=\sum _{k=1}^{n}k\frac{mg}{n^{2}D}=\frac{mg}{n^{2}D}\sum _{k=1}^{n}k=\frac{mg}{n^{2}D}\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{mg}{2D}\left(1+\frac{1}{n}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A zárójelben álló kifejezés 1-nek vehető, hiszen $n\gg 1$. Ezek szerint a slinky rugóállandója: $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{mg}{2L}\mathrm{.}}\end{array}$ A következő lépésben számítsuk ki a megemelt rugó tömegközéppontjának magasságát! Minden ($m/n$ tömegű) rugódarabka alsó vége olyan magasra kerül, amennyi az alatta levő rugók hosszának összege. Így a $k$-adik rész magassága: $\begin{array}{c}{\displaystyle h_k=\sum _{i=1}^{k-1}{\ell }_i=\frac{mg}{n^{2}D}\sum _{i=1}^{k-1}i=\frac{mg}{n^{2}D}\frac{k\left(k-1\right)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A rugó tömegközéppontjának magassága (ami a modellünkben a rugók végén lévő pontrendszer tömegközéppontjának magasságával egyezik meg) a $h_k$ magasságok súlyozott középértéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle h_{\text{tkp}}=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^n\frac{m}{n}{h}_k=\frac{mg}{2n^{3}D}\sum _{k=1}^{n}k\left(k-1\right)=\frac{mg}{6D}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\approx \frac{L}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ (Alkalmaztuk az első $n$ egész szám négyzetösszegének $\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$ képletét, valamint behelyettesítettük $D$ korábban kiszámított értékét.) A megemelt slinky tömegközéppontja tehát a hosszának egyharmadánál van, így a rugó helyzeti energiája $E_{\text{h}}=\frac{1}{3}mgL$. Hátra van még a megnyújtott rugó rugalmas energiájának számítása. Ez a kis rugókban tárolt energiák összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{r}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2}\left(nD\right){\ell }_k^2=\frac{1}{2}\left(nD\right){\left(\frac{mg}{n^{2}D}\right)}^2\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{m^2{g}^2}{6D}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   Az utolsó két zárójeles kifejezés $n\gg 1$ miatt 1-gyel helyettesíthető, így $D$ korábban kiszámított értékét felhasználva a rugalmas energiára végül   $E_{\text{r}}=\frac{1}{3}mgL$ adódik. A végzett munka tehát $W=E_{\text{h}}+E_{\text{r}}=\frac{2}{3}mgL$. $b)$ Az elengedést követően a rugó tömegközéppontja szabadon, $g$ gyorsulással esik lefelé. Az induláskor a tömegközéppont $L/3$ magasan volt, az éppen összecsukódott rugó tömegközéppontja pedig gyakorlatilag az asztal szintjénél (nulla magasságban) található, a rugó sebessége ekkor $v=\sqrt[]{\frac{2}{3}gL}$ lesz.   Megjegyzés. Figyelemre méltó, hogy az összecsukódott rugó teljes mechanikai energiája (esetünkben a mozgási energiája) kevesebb, mint az emelés közben végzett munka (vagyis a slinky energiája az elengedés pillanatában): $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{3}mgL\ne W=\frac{2}{3}mgL\mathrm{.}}\end{array}$ Az összecsukódó rugó meneteinek rugalmatlan ütközésekor a rugó mechanikai energiájának fele más energiává alakul át (a rugót és a környezetét melegíti, illetve hangként kisugárzódik.)