Feladat:	4612. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Menyhért ,  Fehér Zsombor ,  Janzer Barnabás ,  Trócsányi Péter
Füzet:	2014/szeptember, 369 - 370. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Geometriai optika
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 4612. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Legyen a lencse és a tárgy távolsága $t$, a szemünk és a lencse távolsága $d-t$, ahol $d=30$ cm, a lencse fókusztávolsága $f$, a tárgy lencse által alkotott képének az előjeles, $t$-vel ellenkező irányú távolsága a lencsétől $k$, a tárgy nagysága $T$, a kép előjeles nagysága pedig $K$. A leképezési törvény értelmében: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f}\mathrm{,}k=\frac{tf}{t-f}\mathrm{,}\frac{K}{T}=\frac{k}{t}\mathrm{.}}\end{array}$ Lencse nélkül a tárgyat $d$ távolságban $T$ nagyságban látjuk, de a látásunk szempontjából nem ez a méret a lényeges, hanem az, hogy mekkora $\phi$ szög alatt látjuk a tárgyat. A látószöget a $\text{tg}\phi =T/d$ hányadossal jellemezhetjük, ezzel arányos méretű kép keletkezik a retinánkon, tehát ez határozza meg a szemünk által érzékelt képméretet. A lencse által alkotott kép és a szemünk távolsága $d-t-k$ lesz, a kép nagysága pedig $-K$ (ha a $T$-vel egyező állású képet szeretnénk pozitív képmérettel jellemezni). A szögnagyítás mértéke az eredeti látószög és a lencse által alkotott kép látószögének aránya: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle N}& {\displaystyle =\frac{\frac{-K}{d-t-k}}{\frac{T}{d}}=\frac{-kd}{t\left(d-t-k\right)}=\frac{-\frac{tf}{t-f}d}{t(d-t-\frac{tf}{t-f})}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{fd}{\left(d-t\right)\left(f-t\right)+ft}=\frac{fd}{fd-td+t^2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Látható, hogy $t=0$ és $t=d$ esetén is $N=1$, ahogy a feladat szövege is állította. $|N|$ akkor lesz a legnagyobb, ha a nevezőben szereplő $fd-td+t^2$ abszolút értéke a lehető legkisebb. Ha $f$ pozitív és elég nagy, akkor ennek a másodfokú függvénynek $t=d/2=15$ cm-nél van minimuma. Amennyiben a $d^2-4fd$ diszkrimináns pozitív, azaz $f\le d/4$, akkor $t^2-td+fd$-nek van zérushelye, ebben az esetben $N$ végtelen nagy lehet (bár ilyenkor nem látunk semmit, mert a lencse által létrehozott kép éppen a szemünknél lesz), és ha $t^2-td+fd$ negatív, akkor fejjel lefelé látjuk a tárgyat. Ha $f$ negatív (tehát szórólencséről van szó), akkor a másodfokú függvénynek nem lesz gyöke $t=0$ és $t=d$ között, hiszen ezen két határhelyzetben az értéke $fd$, tehát negatív, és a függvény képe egy felfelé nyitott parabola. Ekkor $t=d/2$-nél a nevező abszolút értékének maximuma van, tehát a feladattal ellentétben a lencsén keresztül a tárgyat nem nagyobbnak, hanem kisebbnek látjuk. $b)$ $t=d/2$ mellett $N=2$ akkor teljesül, ha: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2=\frac{fd}{fd-td+t^2}=\frac{fd}{fd-\frac{d}{2}d+\frac{d^2}{4}}=\frac{f}{f-\frac{d}{4}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $f=d/2=15$ cm. Ez azt jelenti, hogy a tárgy éppen a lencse fókuszpontjában van, így a képe a ,,végtelenbe'' kerül, de ez nem baj, mert a lineáris mérete $\left(K\right)$ is végtelen naggyá válik, miközben a látószöge (és annak tangense) véges nagyságú marad.