Feladat:	4610. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horicsányi Attila ,  Kovács Péter Tamás
Füzet:	2014/szeptember, 368 - 369. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gázok egyéb állapotváltozása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 4610. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ábrázoljuk a folyamatot a $p-V$ diagramon! Jelöljük a gáz térfogatát az $n$-edik lépés előtt $V_n$-nel, nyomását $p_n$-nel, az $n$-edik lépés utáni állapotjelzőket pedig $V_{n+1}$-gyel és $p_{n+1}$-gyel! A gáz munkája a $k$-adik lépésben $\begin{array}{c}{\displaystyle W_k^{\text{gáz}}=p_k\left(V_{k+1}-V_k\right)\mathrm{,}}\end{array}$ a külső légköri nyomás munkája pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle W_k^{\text{légkör}}=p_1\left(V_{k+1}-V_k\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A külső erő munkája és gáz által végzett munka együtt a külső légköri nyomás       munkájával egyenlő, így a dugattyút tartó erő munkája a $k$-adik lépésben $\begin{array}{c}{\displaystyle W_k=W_k^{\text{légkör}}-W_k^{\text{gáz}}=\left(p_1-p_k\right)\left(V_{k+1}-V_k\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen munkák összege az ábrán sötétebben jelölt $W$ területtel egyezik meg. Az izobár szakaszokon felírható Gay-Lussac I. törvénye: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{V_k}{T_1}=\frac{V_{k+1}}{T_2}\mathrm{,}\text{azaz}{V}_{k+1}=\frac{T_2}{T_1}{V}_k\mathrm{.}}\end{array}$ A térfogat tehát mértani sorozat szerint nő, $k$ lépés után az értéke $\begin{array}{c}{\displaystyle V_{k+1}={\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^k{V}_1\mathrm{,}}\end{array}$ a nyomás pedig hasonló megfontolással: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_{k+1}={\left(\frac{T_1}{T_2}\right)}^k{p}_1\mathrm{.}}\end{array}$ Helyettesítsük a fenti kifejezéseket a gáz munkájának képletébe: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle W_k^{\text{gáz}}}& {\displaystyle ={\left(\frac{T_1}{T_2}\right)}^{k-1}{p}_1\cdot \left[{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^k-{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{k-1}\right]V_1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =p_1{V}_1\left[\frac{T_1^{k-1}{T}_2^k}{T_2^{k-1}{T}_1^k}-\frac{T_1^{k-1}{T}_2^{k-1}}{T_2^{k-1}{T}_1^{k-1}}\right]=p_1{V}_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát a gáz minden lépésben ugyanannyi munkát végez. A külső levegő összes munkája: $\begin{array}{c}{\displaystyle W^{\text{légkör}}=\sum _{k=1}^n{p}_1\left(V_{k+1}-V_k\right)=p_1\left(V_{n+1}-V_1\right)=p_1{V}_1\left[{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^n-1\right]\mathrm{,}}\end{array}$ a gáz teljes munkavégzése: $\begin{array}{c}{\displaystyle W^{\text{gáz}}=\sum _{k=1}^n{W}_k^{\text{gáz}}=n{p}_1{V}_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ a dugattyút tartó (változó nagyságú) erő kérdezett munkája pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle W=W^{\text{légkör}}-W{}^{\text{gáz}}=p_1{V}_1\left[{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^n-1-n\frac{T_2}{T_1}+n\right]\mathrm{.}}\end{array}$