Kezdőlap


Feladat:	4608. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	(G. P) , Balogh Menyhért , Csathó Botond , Fehér Zsombor , Holczer András , Horicsányi Attila , Juhász Péter , Sárvári Péter , Tatár Dániel , Öreg Botond
Füzet:	2014/szeptember, 366 - 367. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erőrendszer eredője
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 4608. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az ajtó által kifejtett nyomóerő nagysága $N_{1}$ , a küszöb által kifejtett nyomóerő nagysága $N_{2}$ , a megfelelő súrlódási erők pedig $S_{1}$ és $S_{2}$ (1. ábra). Amikor a hengeres tárgy már nem csúszik sem a küszöbnél, sem az ajtónál, fennáll $S_{1} \leq μ_{1} N_{1}$ és $S_{2} \leq μ_{2} N_{2}$ .

1. ábra

Legyen az ajtó és a küszöb szöge

α

, amikor az ajtó már nem mozog. A henger alakú,

r

sugarú tárgy egyensúlyának feltétele a rá ható erők, illetve forgatónyomatékok eredőjének eltűnése:

\begin{matrix} S_{2} + S_{1} cos α - N_{1} sin α = 0, & (1) \\ N_{2} - N_{1} cos α - S_{1} sin α = 0, & (2) \\ S_{1} r - S_{2} r = 0, vagyis S_{1} = S_{2} = S . & (3) \end{matrix}

A (3) és (1) egyenletek alapján

\begin{matrix} S_{1} = \frac{N_{1} sin α}{1 + cos α} = N_{1} tg \frac{α}{2}, \end{matrix}

amit a súrlódási együtthatót tartalmazó egyenlőtlenséggel összevetve adódik:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} \leq μ_{1} . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy a küszöbnél akkor nem csúszik el a hengeres tárgy, ha

\begin{matrix} \frac{N_{1} sin α}{1 + cos α} \leq μ_{2} N_{2} = μ_{2} (N_{1} cos α + S sin α) = μ_{2} (N_{1} cos α + N_{1} \frac{sin^{2} α}{1 + cos α}), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} N_{1} sin α \leq m u_{2} N_{1} (1 + cos α), azaz \frac{sin α}{1 + cos α} = tg \frac{α}{2} \leq μ_{2} . \end{matrix}

Mindkét feltételt figyelembe véve megállapíthatjuk, hogy a huzat által behajtott ajtó

\begin{matrix} α = 2 arctg μ \end{matrix}

szöget fog bezárni a küszöbbel, ahol

μ = {min}_{}^{} (μ_{1}; μ_{2})

II. megoldás. A hengeres tárgyra ható (vízszintes irányú) erők akkor lehetnek egyensúlyban, ha a hengeres tárgy és a küszöb, illetve a tárgy és az ajtó érintkezési pontjában ható erők egyenlő (

F

) nagyságúak, ellentétes irányúak és közös a hatásvonaluk (2. ábra). Feltételezzük, hogy a tárgy és a talaj között nem hat számottevő súrlódási erő.

2. ábra

Az egymáshoz súrlódó felületek akkor nem csúsznak el egymáson, ha az

F

erő iránya az érintkező felületek normálvektorával az

ε

súrlódási határszögnél kisebb szöget zárnak be, ahol

tg ε = μ

(a kérdéses felületekre jellemző súrlódási együttható). Az ábráról leolvasható, hogy ez a szög az ajtó és a küszöb hajlásszögének fele, így az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} \leq μ_{1} és tg \frac{α}{2} \leq μ_{2} . \end{matrix}