Kezdőlap


Feladat:	C.982	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baráti László
Füzet:	2010/szeptember, 330. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Nevezetes azonosságok, Prímtényezős felbontás, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: C.982

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Alakítsuk az $5^{2008} + 4$ kifejezést szorzattá:

\begin{matrix} 5^{2008} + 4 & = {(5^{1004})}^{2} + 2^{2} = {(5^{1004} + 2)}^{2} - 4 \cdot 5^{1004} = {(5^{1004} + 2)}^{2} - {(2 \cdot 5^{502})}^{2} = \\ = (5^{1004} + 2 + 2 \cdot 5^{502}) (5^{1004} + 2 - 2 \cdot 5^{502}) . \end{matrix}

A szorzat első tényezője egész és biztosan nagyobb 2-nél. Becsüljük meg a másik tényező nagyságát:

\begin{matrix} (5^{1004} - 2 \cdot 5^{502}) = 5^{502} \cdot 5^{502} - 2 \cdot 5^{502} = 5^{502} (5^{502} - 2) . \end{matrix}

Mivel

5^{502} > 2

, a második tényező is 2-nél nagyobb és egész.
A kifejezést felbontottuk két 2-nél nagyobb egész szám szorzatára, ami azt jelenti, hogy összetett szám.