Kezdőlap


Feladat:	4614. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaposvári Péter
Füzet:	2014/május, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb elektromos mező, Síkinga
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 4614. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A Gauss-féle fluxustörvény segítségével megállapíthatjuk, hogy a szigetelő szál hengerszimmetrikus elektromos terének távolságfüggése:

\begin{matrix} E (r) = \frac{λ}{2 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{r} . \end{matrix}

Célszerű a golyó helyzetét a kitérülés

φ

szögével jellemezni (1. ábra). Ezzel kifejezve

\begin{matrix} Δ E_{helyzeti} = m g ℓ (1 - cos φ), \end{matrix}

az elektrosztatikus erőtér által végzett munka pedig

\begin{matrix} W = \int_{d_{0}}^{d_{0} + ℓ \cdot sin φ} q E (r) d r = \frac{q λ}{2 π ε_{0}} \int_{d_{0}}^{d_{0} + ℓ sin φ} \frac{1}{r} d r = \frac{Q λ}{2 π ε_{0}} ln \frac{d_{0} + ℓ sin φ}{d_{0}} . \end{matrix}

1. ábra

Megjegyzés. Kihasználtuk, hogy az

1 / x

függvény

a

és

b

határok közötti integrálja (grafikonjának görbe alatti területe)

ln (b / a)

. Ezt a képletet használjuk többek között a gázok izoterm tágulásakor végzett munka kiszámításánál is; lásd a Függvénytáblázat 32. és 140. oldalát!

A fémgolyó mozgási energiáját a

φ

szöggel jellemzett helyzetben a munkatétel segítségével adhatjuk meg:

\begin{matrix} W = Δ E_{helyzeti} + Δ E_{mozg.} . \end{matrix}

Mivel a test sebessége az induláskor nulla volt,

\begin{matrix} E_{mozg.} & = W - Δ E_{helyzeti} = m g ℓ (\frac{q λ}{2 π ε_{0} m g ℓ} ln \frac{d_{0} + ℓ sin φ}{d_{0}} - 1 + cos φ) \equiv \\ \equiv m g ℓ \cdot f (φ) . \end{matrix}

Az itt szereplő

f (φ)

függvény, amely a feladatban szereplő számadatok mellett

\begin{matrix} f (φ) = \frac{1}{2} ln (1 + 2 sin φ) - 1 + cos φ \end{matrix}

alakú, grafikonját a 2. ábra mutatja. Ennek a függvénynek

φ_{1} > 0

zérushelye éppen a fémgolyó megállásának (tehát az

a)

kérdésben szereplő legnagyobb eltávolodásnak) megfelelő szög, a

φ_{0}

maximumhelye pedig a

b)

kérdésre adja meg a választ.

2. ábra

Megjegyzés. A grafikus ábrázolást könnyen megoldhatjuk a

http://www.wolframalpha.com/

címen található Wolfram Alpha program segítségével. Esetünkben a

plot cos(pi x/180)-1+(1/2) ln(1+2sin(pi x/180)), 0<x<90

beírása után vázlatos képet kapunk a vizsgálandó függvényről. A zérushely pontosabb számértéke a

solve cos(pi x/180)-1+(1/2) ln(1+2sin(pi x/180))=0, 0<x<90,

a szélsőérték pedig a

maximum cos(pi x/180)-1+(1/2) ln(1+2sin(pi x/180)), 0<x<90

utasításokkal kapható meg.
Függvények rajzolásához (és még sok máshoz) jól használható az ingyenesen letölthető GeoGebra matematikai program is.

A grafikus és numerikus vizsgálat szerint a zérushely

φ_{1} \approx 60, 2^{\circ}

-nél található, így a golyó legnagyobb eltávolodása a fémszáltól:

d_{max} = d_{0} + ℓ sin φ_{1} \approx 13, 67

cm, a legnagyobb sebességhez tartozó szög pedig

φ_{0} \approx 27, 4^{\circ}