Feladat:	4609. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Iván Balázs
Füzet:	2014/május, 309 - 311. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb folyadékok és gázok mechanikája, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: 4609. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mielőtt a csövet belehelyeznénk a centrifugagépbe, a higanyszál mindkét oldalán a nyomás egyenlő, így a rá ható erők is egyenlők. A higanyszál két oldalán lévő nyomás megegyezik $H$ magasságú higany hidrosztatikai nyomásával, tehát $p=\rho gH$, ($\rho$ a higany sűrűsége). Így a higanyszálra ható erők: $F=A\rho gH$, ahol $A$ a cső keresztmetszete. Mivel a hőmérséklet állandó, ezért a Boyle‐Mariotte-törvény alapján $pV$ is állandó! A vékony csövet most belehelyezzük a centrifugagépbe, és lassan növekvő fordulatszámmal megforgatjuk. Legyen a higanyszál elmozdulása $x$, amikor a szögsebesség $\omega$ (1. ábra)! Ekkor a higanyszálra mind jobb, mind bal oldalról hat erő. A gáztörvény alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \rho gH\ell =p_1\left(\ell -x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=\frac{\rho gH\ell }{\ell -x}\mathrm{,}}\end{array}$ és így az $F_1$ erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=p_{1}A=\frac{\rho gH\ell }{\ell -x}A\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan számolható a másik oldalon ható nyomás és erő is: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_2=\frac{\rho gH\ell }{\ell +x}\mathrm{,}}\end{array}$ ebből adódóan $\begin{array}{c}{\displaystyle F_2=p_{2}A=\frac{\rho gH\ell }{\ell +x}A\mathrm{.}}\end{array}$   1. ábra   A higanyszál forgómozgást végez, ennek a feltétele, hogy a higanyszálra ható erők eredője a centripetális erő. A centripetális erő számolhatjuk úgy, mintha a higany teljes tömege a szál középpontjában helyezkedne el. (Ezt csak azért tehetjük meg, mert a higanyszál egyes darabkáinak forgómozgásához szükséges centripetális erő a tengelytől mért távolsággal arányosan változik, tehát helyettesíthető az átlagértékével.) A teljes centripetális erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{cp}}=mx{\omega }^2=hA\rho x{\omega }^2\mathrm{,}}\end{array}$ így a szál mozgásegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{cp}}=F_1-F_2\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle hA\rho x{\omega }^2=\frac{\rho gH\ell }{\ell -x}A-\frac{\rho gH\ell }{\ell +x}A\mathrm{.}}\end{array}$ Ez egyszerűbb alakra is hozható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(1-\frac{2gH}{h\ell }\frac{1}{{\omega }^2}-\frac{x^2}{{\ell }^2}\right)=0.}\end{array}$ Ennek az egyenletnek az egyik lehetséges megoldása $x=0$, a másik pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\ell \sqrt[]{1-\frac{{\omega }_{\text{krit}}^2}{{\omega }^2}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\omega }_{\text{krit}}=\sqrt[]{\frac{2gH}{\ell h}}$ azt a legkisebb (,,kritikus'') szögsebességet jelöli, amelynél még a gyök alatt álló kifejezés nem negatív. Ha $\omega <{\omega }_{\text{krit}}$, akkor a higanyszál csak a szimmetrikus ($x=0$) helyzetben lehet, és ez az állapot kis zavarokkal szemben nyilván stabil. Ha viszont $\omega >{\omega }_{\text{krit}}$, akkor megjelenik egy másik, aszimmetrikus helyzetnek megfelelő megoldás is, amelyről belátható, hogy stabil forgási állapotot ír le, míg az $x=0$ megoldás ebben a szögsebesség-tartományban instabillá válik (2. ábra).   2. ábra     Megjegyzés. Több versenyző is azzal a lehetőséggel számolt, hogy a higanyszál ‐ elegendően gyors forgásnál ‐ középen két részre szakad. Ez valóban bekövetkezhet, ha a forgás hatására a higanyszál belsejében a nyomás nullára csökken. Ilyenkor a szál szétszakad, a két része között vákuum (vagy ami ezzel gyakorlatilag egyenértékű: telített higanygőz) lesz, és a higanydarabka forgómozgásához szükséges erőt az egyik oldalon levő levegő nyomása biztosítja. A szétszakadás akkor következik be, ha $\omega >\sqrt[]{8gH}/h$, ez pedig $h>4\ell$ esetén hamarabb áll elő, mint a fenti megoldásban számított kritikus szögsebesség.