Feladat:	4588. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Menyhért ,  Berta Dénes ,  Blum Balázs ,  Fehér Zsombor ,  Fekete Panna
Füzet:	2014/május, 305 - 306. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Merev testek ütközése
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/december: 4588. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük az inga felfüggesztési pontját $B$-vel, az ütközőt pedig $A$-val. A kocka (és ezzel az egész rendszer) tehetetlenségi nyomatéka a $B$ pontra a Steiner-tétel szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Theta }_B=\frac{1}{6}m{a}^2+m{\left(10a\right)}^2=\frac{601}{6}m{a}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ha az ingát (az ábrán látható módon) valamekkora $\alpha$ szögben kitérítjük, a kocka tömegközéppontja $\begin{array}{c}{\displaystyle h=10a\left(1-\text{cos}\alpha \right)}\end{array}$ (1) magassággal kerül feljebb. A falnak ütközést közvetlenül megelőző pillanatban az inga $\omega$ szögsebessége a mechanikai energiamegmaradás törvényéből számítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle mgh=\frac{1}{2}{\Theta }_B{\omega }^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\frac{1}{a}\sqrt[]{\frac{12gh}{601}}\mathrm{.}}\end{array}$ (2)     Az ütközés előtt a kocka tömegközéppontja $10a\omega$ nagyságú vízszintes sebességgel rendelkezik, emellett a kocka a tömegközéppontja körül $\omega$ szögsebességgel forog. Ezen két mozgás miatt a kocka az $A$ pontra vonatkoztatott perdülettel rendelkezik, ennek nagysága a tömegközépponti mozgás perdületének és a sajátperdületnek az előjeles összege:   $\begin{array}{c}{\displaystyle N=10a\omega m\frac{a}{2}-\frac{m{a}^2}{6}\omega =\frac{29}{6}m{a}^2\omega \mathrm{.}}\end{array}$ (3)   Az ütközés után a kocka megbillen, és az $A$ ütköző körül valamekkora $\omega \text{'}$ szögsebességgel kezd el mozogni. Mivel az ütközőre (mint tengelyre) vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték (ismét a Steiner-tételt alkalmazva):   $\begin{array}{c}{\displaystyle {\Theta }_A=\frac{m{a}^2}{6}+m{\left(\frac{a}{\sqrt[]{2}}\right)}^2=\frac{2}{3}m{a}^2\mathrm{,}}\end{array}$ (4)   az ütközés utáni perdület (az $A$ tengelyre vonatkoztatva):   $\begin{array}{c}{\displaystyle N\text{'}={\Theta }_A\omega \text{'}=\frac{2}{3}m{a}^2\omega \text{'}\mathrm{.}}\end{array}$ (5)   A rövid ideig tartó ütközés során az $A$ ütközőnél nagy erők lépnek fel, ezek mellett az $mg$ nehézségi erő nem számottevő. Az ütközőnél fellépő erőknek nincs $A$ körüli forgatónyomatéka, emiatt a kocka perdülete erre a tengelyre megmarad: $N=N\text{'}$, azaz (3) és (5) felhasználásával   $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega \text{'}=\frac{29}{4}\omega \mathrm{.}}\end{array}$ (6)   Az $\omega \text{'}$ szögsebességgel elinduló kocka akkor fog átborulni az ütközőn, ha a mozgási energiája elegendően nagy a tömegközéppont ${45}^{\circ }$-nyi elforduláshoz tartozó megemeléséhez. Határesetben:   $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{\Theta }_A\omega {\text{'}}^2=mg\left(\frac{a}{\sqrt[]{2}}-\frac{a}{2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   Innenaz (1),(2)és(4)összefüggéseketfelhasználvaa kitérítésszögére   $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha <\frac{4806-601\sqrt[]{2}}{4205}\approx 0\mathrm{,}\mathrm{941,}\text{vagyis}\alpha >19\mathrm{,}{8}^{\circ }}\end{array}$   adódik.   Megjegyzés. Ha a kitérített inga mozgásának leírásánál a kockát tömegpontnak tekintjük (vagyis a tömegközéppontja körüli forgást elhanyagoljuk), az $\omega$ szögsebességet kicsit pontatlanul számoljuk. Ez azonban csak ezrelékes nagyságrendű hibát okoz, tehát a szokásos számolási pontossági igények mellett elfogadható. Más a helyzet az ütközésnél, ott a kocka sajátperdületének figyelmen kívül hagyása már néhány százaléknyi eltérést okoz, tehát az ilyen számítás már hiányosnak tekintendő.