Feladat: 4604. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gnädig Péter ,  Sal Kristóf ,  Vladár Károly 
Füzet: 2014/április, 247 - 249. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Megosztás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2014/január: 4604. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Tekintsük először azt az esetet, amikor a vezetékkel összekötött két fémlemez földelt, tehát a töltések szabadon távozhatnak a lemezekről, vagy éppen oda áramolhatnak. (A feladatban ez nem teljesül, mégis tanulságos lesz, ha először ezzel a problémával foglalkoznunk.) Ebben az esetben a Q ponttöltés hatására a nagy kiterjedésű (végtelen nagynak tekinthető) lemez felett olyan elektromos tér alakul ki, mintha a lemez túloldalán, Q tükörképének helyén egy -Q nagyságú ,,tükörtöltés'' helyezkedne el (1. ábra).
A lemezen kialakuló töltéseloszlást (töltéssűrűséget) az elektromos térerősségnek a fémfelület határánál kialakuló értéke határozza meg. A fémlemez valamekkora területén felhalmozódó töltés mennyisége arányos az adott területre befutó erővonalak számával. A teljes (földelt) fémlemezre összesen -Q töltés kerül, hiszen mindegyik erővonal valahol eléri a ,,végtelen nagy'' lemezpárt. Az elektromos erőteret a valódi töltés és a tükörtöltés terének összegeként állíthatjuk elő. Ugyanez igaz az erővonalszámokra is: a lemez valamely darabkáján átmenő erővonalszám a valódi töltésből, illetve a tükörtöltésből származó erővonalszám összege. Mivel azonban ezek egymással egyenlőek, a teljes elektromos fluxus a valódi (Q nagyságú) ponttöltés fluxusának kétszerese.

1. ábra

 


2. ábra

Vizsgáljuk meg, hogy a Q nagyságú ponttöltésből kiinduló erővonalaknak mekkora hányada halad át a töltés ,,alatti'' 2d széles sávon, és mennyi a lemez többi részén! Mivel az összes erővonal fele éri el a fémlemezt, és ezek fele halad át a 2d széles sávon (2. ábrán ez a sötétebben jelölt tartomány, pontosabban annak síkmetszete), továbbá a tükörtöltés járuléka is éppen ugyanennyi, megállapíthatjuk, hogy a 2d széles sávba -Q/2, a rajta kívül eső területekre egyenként -Q/4 töltés kerül.
A bal oldali lemezen tehát -Q/4 töltés, a jobb oldalin pedig -3Q/4 töltés halmozódna fel, ha a lemezek földeltek lennének. De nem azok! A két (eredetileg töltetlen) lemez nem végtelen, hanem csak ,,nagyon'' nagy, emiatt az össztöltésük a megosztás után is nulla marad.
Ha az eddig számolt töltés-értékekhez mindkét oldalon +Q/2-t hozzáadunk (mindkét lemezre ekkora töltést viszünk), akkor megkapjuk az eredeti feladat megoldását: a bal oldali lemez töltése +Q/4, a jobb oldali lemezé pedig -Q/4 lesz.

 
Megjegyzés. Ha a Q töltést elfelezzük, és az egyik fél töltést a lemezeket elválasztó keskeny réssel párhuzamos irányban valamennyire elmozdítjuk, a fémlemezeken a töltések átrendeződnek, de az egyes lemezeken levő összes töltés mennyisége nem változik meg. Ezt az eljárást sokszor megismételve a Q töltést akár teljesen szét is ,,kenhetjük'' egy hosszú, egyenes szigetelő pálca mentén, és ezzel a feladatot kétdimenzióssá alakíthatjuk. A 2. ábra ekkor még meggyőzőbben mutatja, hogy ha a Q töltés egymaga lenne csak jelen, a belőle kiinduló erővonalakból háromszor több jut a jobb oldali lemezre, mint amennyi a bal felől levő lemezen áthalad. Ugyanez igaz a tükörtöltésekre is, tehát a két fémlemez eredő töltésaránya is 3:1 lenne, ha a lemezeket leföldelnénk.


 
II. megoldás. Jelöljük a jobb oldali fémlemezre jutó töltés mennyiségét -q-val, ekkor a bal oldali lemez töltése a megosztás hatására nyilván +q lesz. Helyezzünk el most -Q töltést a 3. ábrán látható helyre, ez a bal oldali lemezen hoz létre +q töltést és a jobb oldali lemezre juttat -q töltést. A két elrendezés szuperponálható, az eredményt ugyancsak a 3. ábra mutatja.
 

 
3. ábra
 

A szuperponált elrendezés elektromos terét is a töltéstükrözés módszerével határozhatjuk meg (4. ábra). A szaggatott vonallal jelölt sík ‐ a ténylegesen ott lévő fémlemezekhez hasonlóan ‐ ugyancsak ekvipotenciális, tehát a helyére akár egy valóságos fémlemezt is tehetnénk. A szimmetria miatt ezen lemez felső felén is -2q töltés jelenik meg, és mivel a Q töltésből kiinduló erővonalak mindegyike valamelyik félsíkra érkezik,
-2q-2q=-Q,azazq=Q/4.


 

4. ábra
 

Ezzel megoldottuk az eredeti feladatot is: a Q töltéshez közelebbi lemezen -Q/4, a távolabbin pedig +Q/4 töltés jelenik meg az elektromos megosztás hatására.
 
Megjegyzés. Sok versenyző a töltéstükrözéses módszer segítségével zárt alakban megadta az elektromos térerősség képletét a fémlemezek felületénél, majd ezen kétváltozós függvény ún. felületi integrálásával határozta meg (vagy próbálta meghatározni) a lemezek töltését. Többen az interneten hozzáférhető matematikai programokat hívták segítségül, de volt aki megjegyezte, hogy ez a művelet meghaladja a középiskolások matematikai ismereteit.
Felsőbb matematikai módszerek alkalmazása megengedett, de nem várható el a pontversenyben kitűzött feladatok megoldásánál. Ha a versenyző ilyen nehézségekkel találja szemben magát, gondoljon arra, hogy a feladatnak biztosan van elemi megoldása is (ellenkező esetben nem tűzték volna ki a KöMaL-ban!), és a technikai részletek további bonyolítása helyett próbáljon rátalálni az egyszerű megoldásra.