A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tekintsük először azt az esetet, amikor a vezetékkel összekötött két fémlemez földelt, tehát a töltések szabadon távozhatnak a lemezekről, vagy éppen oda áramolhatnak. (A feladatban ez nem teljesül, mégis tanulságos lesz, ha először ezzel a problémával foglalkoznunk.) Ebben az esetben a ponttöltés hatására a nagy kiterjedésű (végtelen nagynak tekinthető) lemez felett olyan elektromos tér alakul ki, mintha a lemez túloldalán, tükörképének helyén egy nagyságú ,,tükörtöltés'' helyezkedne el (1. ábra). A lemezen kialakuló töltéseloszlást (töltéssűrűséget) az elektromos térerősségnek a fémfelület határánál kialakuló értéke határozza meg. A fémlemez valamekkora területén felhalmozódó töltés mennyisége arányos az adott területre befutó erővonalak számával. A teljes (földelt) fémlemezre összesen töltés kerül, hiszen mindegyik erővonal valahol eléri a ,,végtelen nagy'' lemezpárt. Az elektromos erőteret a valódi töltés és a tükörtöltés terének összegeként állíthatjuk elő. Ugyanez igaz az erővonalszámokra is: a lemez valamely darabkáján átmenő erővonalszám a valódi töltésből, illetve a tükörtöltésből származó erővonalszám összege. Mivel azonban ezek egymással egyenlőek, a teljes elektromos fluxus a valódi ( nagyságú) ponttöltés fluxusának kétszerese.
1. ábra
2. ábra Vizsgáljuk meg, hogy a nagyságú ponttöltésből kiinduló erővonalaknak mekkora hányada halad át a töltés ,,alatti'' széles sávon, és mennyi a lemez többi részén! Mivel az összes erővonal fele éri el a fémlemezt, és ezek fele halad át a széles sávon (2. ábrán ez a sötétebben jelölt tartomány, pontosabban annak síkmetszete), továbbá a tükörtöltés járuléka is éppen ugyanennyi, megállapíthatjuk, hogy a széles sávba , a rajta kívül eső területekre egyenként töltés kerül. A bal oldali lemezen tehát töltés, a jobb oldalin pedig töltés halmozódna fel, ha a lemezek földeltek lennének. De nem azok! A két (eredetileg töltetlen) lemez nem végtelen, hanem csak ,,nagyon'' nagy, emiatt az össztöltésük a megosztás után is nulla marad. Ha az eddig számolt töltés-értékekhez mindkét oldalon -t hozzáadunk (mindkét lemezre ekkora töltést viszünk), akkor megkapjuk az eredeti feladat megoldását: a bal oldali lemez töltése , a jobb oldali lemezé pedig lesz.
Megjegyzés. Ha a töltést elfelezzük, és az egyik fél töltést a lemezeket elválasztó keskeny réssel párhuzamos irányban valamennyire elmozdítjuk, a fémlemezeken a töltések átrendeződnek, de az egyes lemezeken levő összes töltés mennyisége nem változik meg. Ezt az eljárást sokszor megismételve a töltést akár teljesen szét is ,,kenhetjük'' egy hosszú, egyenes szigetelő pálca mentén, és ezzel a feladatot kétdimenzióssá alakíthatjuk. A 2. ábra ekkor még meggyőzőbben mutatja, hogy ha a töltés egymaga lenne csak jelen, a belőle kiinduló erővonalakból háromszor több jut a jobb oldali lemezre, mint amennyi a bal felől levő lemezen áthalad. Ugyanez igaz a tükörtöltésekre is, tehát a két fémlemez eredő töltésaránya is lenne, ha a lemezeket leföldelnénk.
II. megoldás. Jelöljük a jobb oldali fémlemezre jutó töltés mennyiségét -val, ekkor a bal oldali lemez töltése a megosztás hatására nyilván lesz. Helyezzünk el most töltést a 3. ábrán látható helyre, ez a bal oldali lemezen hoz létre töltést és a jobb oldali lemezre juttat töltést. A két elrendezés szuperponálható, az eredményt ugyancsak a 3. ábra mutatja. 3. ábra A szuperponált elrendezés elektromos terét is a töltéstükrözés módszerével határozhatjuk meg (4. ábra). A szaggatott vonallal jelölt sík ‐ a ténylegesen ott lévő fémlemezekhez hasonlóan ‐ ugyancsak ekvipotenciális, tehát a helyére akár egy valóságos fémlemezt is tehetnénk. A szimmetria miatt ezen lemez felső felén is töltés jelenik meg, és mivel a töltésből kiinduló erővonalak mindegyike valamelyik félsíkra érkezik,
4. ábra Ezzel megoldottuk az eredeti feladatot is: a töltéshez közelebbi lemezen , a távolabbin pedig töltés jelenik meg az elektromos megosztás hatására.
Megjegyzés. Sok versenyző a töltéstükrözéses módszer segítségével zárt alakban megadta az elektromos térerősség képletét a fémlemezek felületénél, majd ezen kétváltozós függvény ún. felületi integrálásával határozta meg (vagy próbálta meghatározni) a lemezek töltését. Többen az interneten hozzáférhető matematikai programokat hívták segítségül, de volt aki megjegyezte, hogy ez a művelet meghaladja a középiskolások matematikai ismereteit. Felsőbb matematikai módszerek alkalmazása megengedett, de nem várható el a pontversenyben kitűzött feladatok megoldásánál. Ha a versenyző ilyen nehézségekkel találja szemben magát, gondoljon arra, hogy a feladatnak biztosan van elemi megoldása is (ellenkező esetben nem tűzték volna ki a KöMaL-ban!), és a technikai részletek további bonyolítása helyett próbáljon rátalálni az egyszerű megoldásra.
|
|