Feladat:	4601. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaposvári Péter
Füzet:	2014/április, 244 - 245. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Adiabatikus állapotváltozás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/január: 4601. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ A folyamatban a gáz tágulása adiabatikus (hiszen a henger fala is és a dugattyú is hőszigetelő), így a nehezék legmélyebb helyzetéhez tartozó állapotra érvényes: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0{V}_0^{\kappa }=p_1{V}_1^{\kappa }\mathrm{.}}\end{array}$ (1) (Mivel levegőről van szó: $\kappa =1\mathrm{,}4.$) Innen a levegő nyomása a kérdéses helyzetben: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=p_0{\left(\frac{V_0}{V_1}\right)}^{\kappa }=p_0{\left(\frac{{\ell }_0}{{\ell }_1}\right)}^{\kappa }\mathrm{,}}\end{array}$ ahol ${\ell }_0=V_0/A$ és ${\ell }_1=V_1/A$ a dugattyú legkisebb, illetve legnagyobb távolságát jelöli a henger lezárt szélétől. Amikor a nehezék a legmélyebbre ér, sebessége (és így a mozgási energiája is) éppen nulla. Alkalmazzuk a munkatételt a rendszer kezdeti állapota és a dugattyú visszafordulása közötti folyamatra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E=W_1+W_2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E=\frac{p_1{V}_1-p_0{V}_0}{\kappa -1}=A{p}_0\frac{(\frac{{\ell }_0}{{\ell }_1}{)}^{\kappa }{\ell }_1-{\ell }_0}{\kappa -1}}\end{array}$ (2) a gáz belső energiájának megváltozása, $W_1=mg\left({\ell }_1-{\ell }_0\right)$ a súlyra ható nehézségi erő munkája, $W_2=-p_{0}A\left({\ell }_1-{\ell }_0\right)$ pedig a külső légnyomás munkája (ez nyilván negatív). Ezekkel és az $x={\ell }_1/{\ell }_0$ dimenziótlan változó bevezetésévél (2) így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x^{0\mathrm{,}4}}-1+K\cdot \left(x-1\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ (3) ahol a feladat számadataival $\begin{array}{c}{\displaystyle K=0\mathrm{,}4\cdot \left(1-\frac{mg}{A{p}_0}\right)\approx 0\mathrm{,}30.}\end{array}$ A (3) egyenlet nyilvánvaló, de számunkra érdektelen megoldása $x=1$, ez a kezdeti állapotnak felel meg (a dugattyú sebessége itt is nulla). A másik gyök numerikusan (fokozatos közelítésekkel), vagy (3) bal oldalának grafikus ábrázolásával található meg: $x\approx 1\mathrm{,}48$, ez ${\ell }_1\approx 1\mathrm{,}18$ m-nek, vagyis $V_1\approx 11\mathrm{,}8$ liternek felel meg. A térfogatból (1) alapján számolható a nyomás: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=p_0\frac{1}{x^{1\mathrm{,}4}}\approx 0\mathrm{,}57\cdot {10}^5\text{Pa, }}\end{array}$ a gáztörvényből pedig a hőmérséklet határozható meg: $T_1=256\text{K}=-17{}^{\circ }\text{C.}$ $b)$ A dugattyú és a nehezék (mivel ugyanakkora a gyorsulásuk) egyetlen testként kezelhető, amelynek mozgásegyenletében a fonálerőt (mint belső erőt) nem kell figyelembe vegyük. A dugattyú a legszélső helyzetéből $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{\left(p_0-p_1\right)A-mg}{m}\approx 7\mathrm{,}1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\end{array}$ gyorsulással indul el visszafelé. $c)$ Amikor a dugattyú sebessége maximális, akkor a gyorsulása nulla. Ebben az állapotban a levegő $p_2$ nyomására fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p_0-p_2\right)A-mg=\mathrm{0,}\text{ahonnan}{p}_2\approx 0\mathrm{,}75\cdot {10}^5\text{Pa, }}\end{array}$ és a megfelelő térfogat (1) alapján $V_2\approx 9\mathrm{,}8$ liter. Most is felírhatjuk a munkatételt a levegő kezdeti állapota és a legnagyobb dugattyú-sebességhez tartozó állapota közötti folyamatra. A nehézségi erő munkája és a külső légnyomás által kifejtett erő munkája összességében nagyobb, mint a levegő belső energiájának megváltozása. A különbözet a nehezék $m{v}^2/2$ mozgási energiáját fedezi, innen a dugattyú maximális sebességére $\begin{array}{c}{\displaystyle v\approx 1\mathrm{,}3\frac{\text{m}}{\text{s}}}\end{array}$ érték adódik.