Feladat:	4579. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Janzer Barnabás ,  Németh Flóra Boróka
Füzet:	2014/április, 241. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Exponenciális bomlástörvény, Geológiával kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: 4579. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a mintában található káliumatomok számát $N_{\text{K}}$-val, az argonatomok számát $N_{\text{Ar}}$-nal, a radioaktív káliumatomok számát a kőzet keletkezésekor $N_{{}^{40}\text{K}}\left(0\right)$-lal, a jelenleg kimutatható ${}^{40}$K atomok számát pedig $N_{{}^{40}\text{K}}\left(t\right)$-vel. A feladat szövegében szereplő információk szerint ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle N_{\text{Ar}}={10}^{-4}{N}_{\text{K}}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 0\mathrm{,}11\cdot \left[N_{{}^{40}\text{K}}\left(0\right)-N_{{}^{40}\text{K}}\left(t\right)\right]=N_{\text{Ar}}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}18\cdot {10}^{-4}{N}_{\text{K}}=N_{{}^{40}\text{K}}\left(t\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ Ezekből az egyenletekből $N_{\text{K}}$ és $N_{\text{Ar}}$ kiküszöbölése után kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\mathrm{,}11\cdot \left[N_{{}^{40}\text{K}}\left(0\right)-N_{{}^{40}\text{K}}\left(t\right)\right]=\frac{N_{{}^{40}\text{K}}}{1\mathrm{,}18}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{N_{{}^{40}\text{K}}\left(t\right)}{N_{{}^{40}\text{K}}\left(0\right)}=\frac{1\mathrm{,}18\cdot 0\mathrm{,}11}{1+1\mathrm{,}18\cdot 0\mathrm{,}11}=0\mathrm{,}115.}\end{array}$ Mivel ez az arány ‐ az exponenciális bomlástörvény szerint ‐ $2^{-t/T}$-vel egyezik meg ($T$ a ${}^{40}$K atomok ismert felezési ideje), a kőzet vélhető kora $\begin{array}{c}{\displaystyle t=-T\frac{\text{log}0\mathrm{,}115}{\text{log}2}=3\mathrm{,}12\cdot 1\mathrm{,}18\cdot {10}^9\text{év}\approx 3\mathrm{,}68\text{milliárd év.}}\end{array}$   Megjegyzés. A megoldás során fel kellett tételezzük, hogy a kőzetben talált argon teljes mennyisége a ${}^{40}$K atomok bomlásából származik.