Kezdőlap


Feladat:	4506. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Menyhért
Füzet:	2014/április, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pozitron, Foton (mint elemi részecske)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/január: 4506. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ütközés előtti és utáni helyzetet az alábbi ábra szemlélteti; $m_{0}$ az elektron (és a pozitron) nyugalmi tömegét, $h$ a Planck-állandót, $c$ a fénysebességet, $f_{1}$ és $f_{2}$ pedig a keletkező fotonok frekvenciáját jelöli.

Az energia- és az impulzusmegmaradás (relativisztikus) képletei szerint:

\begin{matrix} E_{1} + E_{2} = E_{1}' + E_{2}' és I_{1} + I_{2} = I_{1}' + I_{2}', \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} m_{0} c^{2} (\frac{2}{\sqrt[]{3}} + 1) = h f_{2} + h f_{1}, \frac{m_{0} c}{\sqrt[]{3}} + 0 = \frac{h f_{2}}{c} - \frac{h f_{1}}{c} . \end{matrix}

Bevezetve az

f_{0} = \frac{m_{0} c^{2}}{h}

jelölést, a fenti összefüggések így is írhatók:

\begin{matrix} f_{2} + f_{1} = (\frac{2}{\sqrt[]{3}} + 1) f_{0}, f_{2} - f_{1} = \frac{1}{\sqrt[]{3}} f_{0} . \end{matrix}

Innen ‐ az egyenleteket összeadva, illetve kivonva ‐ adódik, hogy

\begin{matrix} f_{2} = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2} f_{0} és f_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2 \sqrt[]{3}} f_{0} = \frac{f_{2}}{\sqrt[]{3}}, \end{matrix}

a keresett hullámhosszak tehát

\begin{matrix} λ_{1} & = \frac{c}{f_{1}} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{1 + \sqrt[]{3}} \frac{c}{f_{0}} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{1 + \sqrt[]{3}} \frac{h}{m_{0} c} = 3, 08 \cdot 10^{- 12} m, \\ λ_{2} & = \frac{c}{f_{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt[]{3}} \frac{h}{m_{0} c} = \frac{λ_{1}}{\sqrt[]{3}} = 1, 77 \cdot 10^{- 12} m . \end{matrix}

Megjegyzés.

A fenti képletekben megjelenő

λ_{C} = \frac{h}{m_{0} c}

kifejezést az elektron Compton-hullámhosszának nevezik. Nagysága

2, 43 \cdot 10^{- 12} m

, tehát kb. 100-szor kisebb, mint egy hidrogénatom mérete, de 1000-szer nagyobb, mint a hidrogén atommagjának, a protonnak az átmérője.
A Compton-hullámhossz jelöli ki a nemrelativisztikus és a relativisztikus kvantumfizika érvényességi területének határvonalát. Állónak tekinthető elektron és pozitron szétsugárzásakor keletkező fotonok hullámhossza éppen

λ_{C}

. Ha egy elektront

λ_{C}

-nél kisebb helyre akarnánk korlátozni (vagyis a helyét ennél pontosabban próbálnánk megmérni), akkor a Heisenberg-féle határozatlansági reláció miatt olyan nagy impulzussal (és emiatt olyan nagy energiával) kellene rendelkeznie, ami már elegendő lenne elektron‐pozitron pár keltéséhez.