Feladat:	4592. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Géczi Péter ,  Gnädig Péter
Füzet:	2014/március, 181 - 182. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mozgási indukció
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/december: 4592. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A rúd mozgása közben az áramkörben feszültség indukálódik: $U=Bvy$, ahol $v$ a rúd pillanatnyi sebessége, $y$ pedig a rúdnak a vezető szálak között levő hossza. Ez utóbbi kefejezhető a rúd középpontjának az $A$ ponttól mért $x$ távolságával: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=2x\text{tg}\frac{\alpha }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A rúd hosszegységenként $r$ ellenállású, tehát a zárt áramkör teljes ellenállása: $R=ry$. Ohm törvénye szerint a körben folyó áram pillanatnyi értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{U}{R}=\frac{Bvy}{ry}=\frac{Bv}{r}\mathrm{.}}\end{array}$ Az áramjárta, mozgásban levő rúdra a mágneses tér $F=BIy$ nagyságú erőt fejt ki, ami Lenz törvénye alapján a mozgást akadályozni fogja. A dinamika alapegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle ma=m\frac{\Delta v}{\Delta t}=-BIy=-\frac{B^{2}vy}{r}=-\frac{2B^{2}x\text{tg}\left(\alpha /2\right)}{r}\frac{\Delta x}{\Delta t}\mathrm{,}}\end{array}$ amit (kihasználva, hogy kicsiny változásoknál $\Delta x^2=2x\Delta x$) $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \left(mv+\frac{B^2\text{tg}\left(\alpha /2\right)}{r}{x}^2\right)=0}\end{array}$ alakban is felírhatunk. Ez annyit jelent, hogy a fenti zárójeles kifejezés időben nem változik, értéke állandó, s az állandó nagyságát a kezdőfeltétel rögzíti: $\begin{array}{c}{\displaystyle mv+\frac{B^2\text{tg}\left(\alpha /2\right)}{r}{x}^2=\text{állandó}=m{v}_0+\frac{B^2\text{tg}\left(\alpha /2\right)}{r}{x}_0^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ugyanez érvényes a megállásnál is $v=0$ és $x=x_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ adatokkal: $\begin{array}{c}{\displaystyle m{v}_0+\frac{B^2\text{tg}\left(\alpha /2\right)}{r}{x}_0^2=\frac{B^2\text{tg}\left(\alpha /2\right)}{r}{x}_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a keresett távolság: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\sqrt[]{x_0^2+\frac{m{v}_{0}r}{B^2\text{tg}\left(\alpha /2\right)}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. A megállásig megtett út véges, az ehhez szükséges idő viszont ‐ a feladatban leírt idealizált feltételek teljesülése esetén ‐ végtelen nagy! A mozgásegyenlet elemzéséből kiderül, hogy a rúd sebessége (a radioaktív bomlástörvényhez hasonlóan) exponenciális ütemben csökken, és tetszőlegesen hosszú idő múlva is kicsiny, de véges (nullától különböző) érték. Természetesen kicsi sebességeknél már a súrlódás is szerepet játszik a rúd fékeződésében, tehát ‐ reális körülmények között ‐ a rúd véges idő alatt megáll.  (G. P.)