Kezdőlap


Feladat:	4582. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Berta Dénes , Sárvári Péter
Füzet:	2014/március, 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Rugalmas erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: 4582. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az űrhajós egyensúlyi helyzetéből a tetraéder csúcspontjaiba mutató vektorokat $r^{(1)}$ -gyel, $r^{(2)}$ -vel, $r^{(3)}$ -mal és $r^{(4)}$ -gyel! (A sorszámozás kövesse a rugóállandók sorszámát!)
Mivel a rugók nyújtatlan hossza elhanyagolható, a hosszuk egyúttal a megnyúlásuk, a bennük ébredő erő tehát

\begin{matrix} F^{(i)} = D_{i} \cdot r^{(i)}, (i = 1,2,3,4) . \end{matrix}

Az űrhajósra ható eredő erő (a súlytalanság állapotában):

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{4} F^{(i)} = \sum_{i = 1}^{4} D_{i} \cdot r^{(i)} = 0, \end{matrix}

(1)

hiszen az egyensúlyi helyzettől mértük fel a rugókat jellemző vektorokat. (Az egyensúlyi helyzet a rugóállandók különböző nagysága miatt nem esik egybe a tetraéder középpontjával.)
Térítsük ki az űrhajóst az egyensúlyi helyzetéből valamekkora

r

vektorral! Ebben a helyzetben az űrhajóstól a rögzítési pontokba mutató (tehát a rugók egyik végétől a másikig mutató) vektorok

r^{(i)} - r

módon adhatók meg, az eredő erő tehát:

\begin{matrix} F & = D_{1} (r^{(1)} - r) + D_{2} (r^{(2)} - r) + D_{3} (r^{(3)} - r) + D_{4} (r^{(4)} - r) = \\ = (\sum_{i = 1}^{4} D_{i} \cdot r^{(i)}) - (D_{1} + D_{2} + D_{3} + D_{4}) r . \end{matrix}

Az utolsó sor első összege (1) miatt elhagyható, s így a kitérített űrhajós mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m a = - D r, \end{matrix}

(2)

ahol

D = 1100

N/m a négy rugóállandó összege.
A mozgásegyenlet ‐ a kitérítés irányától és nagyságától függetlenül ‐ a harmonikus rezgőmozgás egyenlete, a rezgés periódusideje tehát

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{D}} = 1, 58 s. \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A megoldás során nem használtuk fel, hogy a rögzítési pontok egy szabályos tetraéder csúcsai. Más elrendezéseknél is ugyanerre az eredményre jutottunk volna.
2. A rezgésidő tetszőleges számú rugó esetén is ugyanígy számolható, természetesen ilyenkor

D

az összes rugóállandó összege.
3. A leírt megoldás akkor is érvényben marad, ha földi körülmények között vizsgáljuk a test rezgéseit. A gravitáció hatására csak az egyensúlyi helyzet változik meg, a rezgésidő nem.
4. Sárvári Péter (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 12. évf.) megmutatta, hogy ha a rugók feszítetlen hossza nem hanyagolható el, akkor a test mozgása csak kis kitérések esetén lesz harmonikus rezgőmozgás, és a rezgésidő általában függ a kitérítés irányától.