Feladat:	4577. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fehér Zsombor
Füzet:	2014/március, 177 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb ellenállás-kapcsolások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: 4577. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $A$ és $B$ pont közötti eredő ellenállás nyilván arányos $R$-rel, tehát érdemes $R_{\text{eredő}}=xR$ alakban felírni. Ha minden ellenállást $q$-szorosára cserélnénk, akkor az eredő ellenállás $qxR$ lenne. Így az eredeti ellenálláslánc első két ‐ $R$ nagyságú ‐ ellenállását levéve a maradék helyettesíthető egyetlen, $qxR$ nagyságú ellenállással (1. ábra).     1. ábra   Ezek szerint $xR$ megegyezik a párhuzamosan kapcsolt $R$ és $qxR$ nagyságú ellenállások és a velük sorosan kapcsolt $R$ nagyságú ellenállás eredőjével: $\begin{array}{c}{\displaystyle xR=R+\frac{R\cdot qxR}{R+qxR}\mathrm{,}\text{vagyis}x=1+\frac{qx}{1+qx}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $q{x}^2+\left(1-2q\right)x-1=0$. Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldásai: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\left(1-\frac{1}{2q}\right)\pm \sqrt[]{1+\frac{1}{4q^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel értelemszerűen $q>0$, a zárójelben álló kifejezés 1-nél kisebb, a gyökjel alatti pedig 1-nél nagyobb, így az egyenlet két gyöke közül csak a $+$ előjel ad fizikailag reális eredő ellenállást: $\begin{array}{c}{\displaystyle R_{\text{eredő}}=\left(1-\frac{1}{2q}+\sqrt[]{1+\frac{1}{4q^2}}\right)R\equiv x\left(q\right)R\mathrm{.}}\end{array}$ Az $x\left(q\right)$ függvény ábrázolását megkönnyíti, ha azt $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(q\right)=1+\frac{1}{\frac{1}{2q}+\sqrt[]{1+\frac{1}{4q^2}}}}\end{array}$ alakban írjuk fel. Innen leolvasható, hogy $q$ növekedtével $x\left(q\right)$ monoton nő, továbbá $q\ll 1$ esetén $x\approx 1$ és $q\gg 1$ határesetben $x\approx 2$. Ezek a tulajdonságok a képletek fizikai jelentése alapján is jól érthetők. Ha $q=0$, akkor az első $R$ ellenállás után a láncban rövidzár alakul ki, az eredő ellenállás tehát nyilván $R$. Ha viszont $q\to \infty$, akkor a lánc első két eleme után következő ellenállások ,,végtelen nagyok'', tehát szakadást képviselnek (olyanok, mintha ott se lennének); ilyenkor nyilván $R_{\text{eredő}}=2R$.     2. ábra   Amennyiben $q=1$, vagyis a lánc csupa egyforma ellenállásból áll, az eredő $R$-nek $\left(1+\sqrt[]{5}\right)/2\approx 1\mathrm{,}62$-szorosa; ez a szám az aranymetszés híres arányszáma. Az eredő ellenállást $q$ függvényében vázlatosan a 2. ábra mutatja.