Feladat:	4576. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaposvári Péter
Füzet:	2014/március, 175 - 176. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Permittivitás (dielektromos állandó), Elektromos fluxus (erővonalszám)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: 4576. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az elektromos erőtér az elrendezés szimmetriája miatt gömbszimmetrikus. Számítsuk ki az elektromos térerősség nagyságát a gömb középpontjától mért $r$ távolság függvényében, ábrázoljuk azt, és olvassuk le, hogy hol lesz az a megadott két érték. Három tartományt kell megkülönböztetnünk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-style: italic;">I</span>}\mathrm{.})r<r_1;\text{<span style="font-style: italic;">II.</span>})r_1<r<r_2;\text{<span style="font-style: italic;">III</span>}\mathrm{.})r_2<r\mathrm{.}}\end{array}$ $\text{<span style="font-style: italic;">I</span>}\mathrm{.})$ A gömbhéj belső sugarán belül nulla a térerősség, hiszen a szigetelőn a töltések eloszlása egyenletes. (Ez a Gauss-törvényből is közvetlenül adódik: bármely $r<r_1$ sugarú gömbön áthaladó elektromos fluxus nulla, tehát a gömbszimmetrikus erőtér is nulla kell legyen ebben a térrészben.) $\text{<span style="font-style: italic;">III</span>}\mathrm{.})$ A külső térrészben is egyszerű a térerősség meghatározása, mert itt a gömbhéj relatív dielektromos állandója nem játszik szerepet. Az erőtér olyan, mintha az összes $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=\frac{4\left(r_2^3-r_1^3\right)\pi }{3}\varrho =1\mathrm{,}94\cdot {10}^{-7}\text{C }}\end{array}$ töltés a gömbhéj középpontjában lenne: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=k\cdot \frac{Q}{r^2}\mathrm{.}}\end{array}$ $\text{<span style="font-style: italic;">II</span>}\mathrm{.})$ A gömbhéj belsejében már egy kicsit nehezebb az $E\left(r\right)$ térerősség meghatározása. Mivel a töltés eloszlása gömbszimmetrikus, az $r$ távolságon kívül elhelyezkedő töltések hatása kioltja egymást, ezért ezekkel a töltésekkel nem kell foglalkoznunk. A többi, összesen $\begin{array}{c}{\displaystyle q\left(r\right)=\frac{4\left(r^3-r_1^3\right)\pi }{3}\varrho }\end{array}$ nagyságú töltés tere vákuumban olyan lenne, mintha valamennyien a gömb középpontjában helyezkednének el; azonban a közeg polarizálhatósága miatt az elektromos térerősség a vákuumbeli értéknek csupán $\frac{1}{{\epsilon }_{\text{r}}}$-szerese: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(r\right)=\frac{k}{{\epsilon }_{\text{r}}}\cdot \frac{q\left(r\right)}{r^2}\mathrm{.}}\end{array}$     A vázlatos ábra az elektromos térerősség nagyságát mutatja a középponttól mért távolság függvényében.   Erről leolvashatjuk, hogy a megadott feltétel az $a)$ esetben két helyen,   $r_{\left(\text{<span style="font-style: italic;">II</span>}\right)}^{\left(a\right)}=18$ cm és $r_{\left(\text{<span style="font-style: italic;">III</span>}\right)}^{\left(a\right)}=76$ cm távolságnál teljesül, míg a $b)$-ben megadott térerősség csak egyetlen esetben, a gömbhéj   középpontjától kb. $r_{\left(\text{<span style="font-style: italic;">III</span>}\right)}^{\left(b\right)}=24$ cm távolságnál valósul meg.   Megjegyzés. Az ábráról az is leolvasható, hogy az elektromos térerősség nem folytonos függvénye $r$-nek, a gömbhéj külső felületénél $E\left(r\right)$-nek ,,ugrása'' van. Ez a szakadás (a Gauss-törvény értelmében) azt jelzi, hogy a gömbhéj felületére töltések (ún. polarizációs töltések) kerültek. A gömbhéj belső felületénél ugyanez a jelenség azért nem lép fel, mert ott az elektromos térerősség nulla.