Feladat:	4565. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter ,  Molnár Szilárd
Füzet:	2014/február, 112 - 113. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: 4565. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Válasszuk az 1. ábrán látható koordináta-rendszert! A vízszinteshez képest $\alpha$ szögben elhajított test elmozdulásvektorának komponensei $t$ idő elteltével: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(t\right)=v_0\text{cos}\alpha \cdot t\mathrm{,}y\left(t\right)=v_0\text{sin}\alpha \cdot t-\frac{g}{2}{t}^2\mathrm{.}}\end{array}$   1. ábra   A talajra érkezésig eltelt időt az $y=0$ feltételből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_0=\frac{2v_0\text{sin}\alpha }{g}\mathrm{,}}\end{array}$ és ennek megfelelően a hajítás távolsága: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=x\left(t_0\right)=v_0\text{cos}\alpha \cdot \frac{2v_0\text{sin}\alpha }{g}=\frac{v_0^2}{g}\text{sin}2\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ A parabola $F$ fókuszpontja az eldobás $O$ pontjából nézve a vízszinteshez képest valamekkora $\beta$ szög magasságában található. Belátjuk, hogy ez a szög $2\alpha -{90}^{\circ }$. Képzeljünk a parabolapálya helyére egy (a pályagörbének a szimmetriatengelye körüli megforgatásából adódó) parabolatükröt. Ez a tükör a tengelyével párhuzamos (függőlegesen felfelé haladó) fénysugarakat az $F$ fókuszpont irányába tükrözné. Az $O$ pontba érkező, tehát $\alpha$ beesési szöggel rendelkező fénysugár a függőlegeshez képest $2\alpha$, a vízszintestől mérve $\beta =2\alpha -{90}^{\circ }$-os szögben halad tovább. A fókuszpont és az elhajítás helyének távolsága: $\begin{array}{c}{\displaystyle OF=\frac{OA}{\text{cos}\beta }=\frac{d}{2}\cdot \frac{1}{\text{cos}\left(2\alpha -{90}^{\circ }\right)}=\frac{v_0^2}{2g}=\text{állandó}\mathrm{.}}\end{array}$ (Kihasználtuk, hogy a fókuszpont vízszintes irányban $d/2$ távol van az elhajítás helyétől, továbbá $\text{cos}\left(2\alpha -{90}^{\circ }\right)=\text{sin}2\alpha \mathrm{.}$) Azt az eredményt kaptuk, hogy a parabola fókuszpontja a kezdősebesség irányától függetlenül mindig $v_0^2/\left(2g\right)$ távolságra van a test elhajításának helyétől. Az is látszik, hogy $\beta =0$, vagyis $\alpha ={45}^{\circ }$ esetén a fókuszpont az elhajítás helyével azonos magasságban van. Megjegyzés. A Kepler-törvények és a Kepler-problémára vonatkozó energia-megfontolások felhasználásával is megkaphatjuk a pályagörbe fókuszpontjának távolságát az elhajítás helyétől. Kepler I. törvényét a Hold gömbszimmetrikus gravitációs terében mozgó testekre alkalmazva megállapíthatjuk, hogy a test pályája olyan ellipszis, amelynek egyik fókuszpontja ($F_1$) a Hold középpontja (2. ábra).   2. ábra   Az ellipszis nagytengelyének hossza ($2a$) csak attól függ, hogy mekkora az elhajított test teljes mechanikai energiája, vagyis a gravitációs helyzeti energia és a mozgási energia összege. (Ez a kapcsolat már nem a Kepler-törvényekből, hanem a Newton-féle mozgásegyenletekből kö vetkezik.) Az $O$ pontból $v_0$ kezdősebességgel különböző irányokban elindított azonos tömegű testek helyzeti energiája is és a mozgási energiája is ugyanakkora, emiatt az ellipszispályájuk nagytengelye meghatározott nagyságú: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2a=O{F}_1+O{F}_2=\text{állandó}\mathrm{.}}\end{array}$ ($F_2$ az ellipszis másik fókuszpontját jelöli.) Mivel az $O{F}_1$ távolság (a Hold sugara) adott érték, az $O{F}_2$ távolság is adott nagyságú, a kezdősebesség irányától független állandó kell legyen. A nem túlságosan nagy kezdősebességgel elindított testek pályája az ellipszis csúcspontjának közelében parabolával közelíthető. (Ez a közelítés annak felel meg, hogy a gravitációs teret a test mozgáskörzetében homogénnek tekintjük.) A parabola fókuszpontja az ellipszis ,,másik'' ($F_2$) fókuszpontja lesz, amelynek az elhajítás helyétől mért távolsága valamennyi parabolára ugyanaz az állandó. Ez az állandó (mint az a függőlegesen felfelé indított, elfajult pályán mozgó test emelkedési magasságából látható) $v_0^2/\left(2g\right)$, ahol $g$ a nehézségi gyorsulás az elhajítás helyén, illetve annak kis környezetében.