Feladat:	4562. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mályusz Attila
Füzet:	2014/február, 111 - 112. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: 4562. fizika feladat, 1988/december: F.2717 Feladatok megoldásai: 1989/szeptember: F.2712

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha $s$ úton $n$-esével visszük a téglákat, akkor összesen $\frac{600}{n}$-szer $v_n$ sebességgel kell odafelé, és ugyanennyiszer téglák nélkül $v_0$ sebességgel visszafelé megtennünk az utat. A téglahordás teljes ideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle t\left(n\right)=\frac{600}{n}\cdot \left(\frac{s}{v_n}+\frac{s}{v_0}\right)=\frac{600}{n}\cdot \left[\frac{s}{v_0}\left(1+\frac{n^2}{5}\right)+\frac{s}{v_0}\right]=600\frac{s}{v_0}\left(\frac{2}{n}+\frac{n}{5}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Azt szeretnénk, hogy ez a kifejezés a lehető legkisebb legyen. A téglák elszállításához szükséges idő akkor minimális, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(n\right)=\frac{2}{n}+\frac{n}{5}}\end{array}$ minimális, hiszen a $600\frac{s}{v_0}$ szorzótényező $n$-től független állandó. (Ha az utolsó tégla lerakásakor a munkát elvégzettnek tekintjük, akkor egy visszaút idejét levonhatjuk a fentebb számolt időből, de ez a minimumfeltételt nem befolyásolja, hiszen $s/v_0$ is $n$-től független állandó.) $f\left(n\right)$ értékeit különböző $n$-ekre az alábbi táblázat tartalmazza:     Ez alapján azt sejthetjük, hogy $f\left(n\right)$ és ezzel együtt a téglahordás ideje is   $n=3$-nál a legkisebb, tehát hármasával érdemes vinni a téglákat. És valóban, $n$-et egyesével növelve $n/5$ mindig $\frac{1}{5}$-del növekszik; $2/n$ csökken ugyan, de a csökkenése $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}\right|=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\le \frac{1}{6}\mathrm{,}\text{ha}n\ge \mathrm{3,}}\end{array}$ tehát összességében $f\left(n\right)$ a táblázatban már nem szereplő értékeknél is egyre növekszik.   Megjegyzés. Sokan a differenciálszámítás képleteinek alkalmazásával keresték $f\left(n\right)$ minimumhelyét, és azt $n=\sqrt[]{10}\approx 3\mathrm{,}16$-nál találták meg, majd a $\sqrt[]{10}$-hez legközelebbi egész $n$-et nevezték meg legkedvezőbb téglaszámként. Ez jó eredményt adott, de csupán sejtésnek tekinthető, nem bizonyított eredménynek. A differenciálszámítás olyan módszer, amely egy folytonosan változtatható $n$ mennyiség ,,nagyon kicsi'' változásaira adja meg $f\left(n\right)$ megváltozását. Jelen esetben ‐ hacsak nem akarjuk a téglákat nagyon apróra törve szállítani ‐ nyilván csak egész $n$-ek jöhetnek szóba!