Feladat:	4546. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csathó Botond
Füzet:	2014/február, 102 - 104. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Adiabatikus állapotváltozás, Mozgási energia, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/május: 4546. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A hengerben hélium (nemesgáz) van, molekuláinak szabadsági foka $f=3$, a gáz fajhőhányadosa pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \kappa =\frac{c_p}{c_V}=\frac{5}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ A hengerben levő gáz tágulása ‐ a hőszigetelt fal és dugattyú miatt ‐ adiabatikusnak tekinthető, és a $p{V}^{\kappa }=\text{állandó}$ állapotegyenlettel írható le. Az alábbi ábrasor a rendszer három jellegzetes állapotát mutatja. A dugattyú álló helyzetéhez tartozó állapotot 0-ás, a maximális sebességhez tartozó állapotot 1-es, a gázoszlop maximális hosszához tartozó állapotot pedig 2-es indexű mennyiségekkel írjuk le.     $a)$ A rögzítés megszüntetése után a dugattyú gyorsulni kezd lefelé, hiszen a dugattyúra ható eredő erő nem nulla ($p_{0}A+mg>p_{0}A$). A sebesség mindaddig nő, amíg az eredő erő nullától különböző. A sebesség legnagyobb értékénél $\begin{array}{c}{\displaystyle p_{1}A+mg=p_{0}A\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=p_0-\frac{mg}{A}\approx 80\text{kPa}\mathrm{.}}\end{array}$ Az adiabatikus állapotváltozás miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0{V}_0^{\kappa }=p_1{V}_1^{\kappa }\mathrm{,}\text{azaz}{p}_0{\left({\ell }_{0}A\right)}^{\kappa }=p_1{\left({\ell }_{1}A\right)}^{\kappa }\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_1={\ell }_0\cdot {\left(\frac{p_0}{p_1}\right)}^{\frac{1}{\kappa }}=0\mathrm{,}5\text{m}\cdot {\left(\frac{100}{80}\right)}^{0\mathrm{,}6}\approx 0\mathrm{,}57\text{m}\mathrm{.}}\end{array}$ A dugattyú tehát kb. 7 cm-nyi süllyedés után éri el a legnagyobb sebességét. $b)$ Írjuk fel a hőtan I. főtételét a héliumgáz 0-ás és 1-es jelzésű állapota között végbemenő folyamatra: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=\Delta E_{\text{belső}}+W\text{'}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $Q$ a gázzal közölt hő (esetünkben nulla), $W\text{'}$ pedig a gáz által végzett munka. Eszerint ‐ az ideális gáz állapotegyenleteit is felhasználva ‐ a gáz munkavégzése: $\begin{array}{c}{\displaystyle W\text{'}=-\Delta E_{\text{belső}}=-\frac{f}{2}nR\Delta T=-\frac{f}{2}\left(nR{T}_1-nR{T}_0\right)=-\frac{f}{2}\left(p_1{V}_1-p_0{V}_0\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az ismert és a fentebb kiszámított adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle W\text{'}=-\frac{3}{2}\left(80\text{kPa}\cdot 5\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2\cdot 0\mathrm{,}57\text{m}-100\text{kPa}\cdot 5\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2\cdot 0\mathrm{,}50\text{m}\right)\approx 33\text{J. }}\end{array}$ Alkalmazzuk még a munkatételt a dugattyú mozgására! Eszerint a dugattyú mozgási energiájának növekedése a dugattyúra ható erők munkájának összegével egyezik meg. Ez utóbbi három tagból (a gáz $W\text{'}$ munkájából, a nehézségi erő munkavégzéséből és a dugattyút alulról nyomó külső légnyomás által végzett munkából) tevődik össze: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_{\text{max}}^2=W\text{'}+mg\left({\ell }_1-{\ell }_0\right)-p_{0}A\left({\ell }_1-{\ell }_0\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Innen az adatok behelyettesítése után a dugattyú legnagyobb sebességére $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{max}}\approx 0\mathrm{,}8\frac{\text{m}}{\text{s}}}\end{array}$ adódik. $c)$ A gázoszlop legnagyobb hosszát ugyancsak a munkatétel és az I. főtétel, valamint az állapotegyenletek alkalmazásával határozhatjuk meg. A 2-es helyzetben a dugattyú sebessége nulla, a mozgási energiája tehát a kezdőállapothoz képest nem változott. A munkatétel szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0=mg\left({\ell }_2-{\ell }_0\right)+W\text{'}\text{'}-p_{0}A\left({\ell }_2-{\ell }_0\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $W\text{'}\text{'}$ a gáz által végzett munka a 0-ás és a 2-es jelzésű állapot között végbemenő folyamatra. A hőtan I. főtétele alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle W\text{'}\text{'}=-\Delta E_{\text{belső}}=-\frac{f}{2}\left(p_2{V}_2-p_0{V}_0\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $V_2={\ell }_{2}A$ és (az adiabatikus állapotváltozás miatt) $\begin{array}{c}{\displaystyle p_2=p_0{\left(\frac{{\ell }_0}{{\ell }_2}\right)}^{\kappa }\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti összefüggések végül a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{3}\left(\frac{mg}{p_{0}A}-1\right)\left(\frac{{\ell }_2}{{\ell }_0}-1\right)={\left(\frac{{\ell }_2}{{\ell }_0}\right)}^{-\frac{2}{3}}-1}\end{array}$ egyenlethez vezetnek, amely az ismert adatokkal és az $x={\ell }_2/{\ell }_0$ jelölés bevezetésével így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle -0\mathrm{,}53\left(x-1\right)=x^{-\frac{2}{3}}-1.}\end{array}$ Ennek egyik megoldása $x=1$, ami számunkra érdektelen, hiszen az a kezdeti ${\ell }_2={\ell }_0$ helyzetnek felel meg. A keresett megoldás közelítő értéke pl. az egyenlet mindkét oldalának grafikus ábrázolásával kapható meg, és (akár egy zsebszámológéppel is) numerikusan pontosítható. (Kényelmes és gyors a wolframalpha.com internetes címen található egyenletmegoldó program használata is.) Az eredmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\approx 1\mathrm{,}3\Rightarrow {\ell }_2\approx 0\mathrm{,}65\text{m. }}\end{array}$