Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/március, 170 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Áramvezetőre ható erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: 2013. évi Eötvös fizikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A vezetőhuzal a mágneses térerősségre merőleges síkban fog elhelyezkedni. Mivel a mágneses tér által a vezető darabkáira kifejtett erő mindenhol merőleges a huzalra, ezért a vezeték minden pontjában ugyanakkora erő ébred. A vezeték $r$ görbületi sugarú darabkájában $F = I B r$ nagyságú erő ébred. Ez könnyen belátható a vezeték kis darabkájára ható erők vizsgálatával (5. ábra).

5. ábra

Az erőegyensúly:

\begin{matrix} 2 F sin φ = I B Δ ℓ . \end{matrix}

Geometriából:

\begin{matrix} Δ ℓ = 2 φ r . \end{matrix}

A kis szögek miatt

sin φ \approx φ

, ebből valóban az

F = I B r

eredményre jutunk. Az eddigiekből következik, hogy a huzal körív alakot vesz fel. (Elvben a többmenetes ,,körtekercs'' alak is egyensúlyi helyzet, ez azonban labilis, így nem is alakítható ki, ahogy egy ceruzát sem lehet a hegyére állítani.)
A körívre a következő geometriai összefüggéseknek kell teljesülniük (6. ábra):

\begin{matrix} 2 r sin α & = ℓ / 2, \\ 2 r (π - α) & = ℓ, \end{matrix}

ezekből a

2 sin α = π - α

transzcendens egyenletre jutunk, melynek numerikus megoldása

α \approx 1, 246 rad = 71, 40^{\circ}

. Ezt visszaírva a fenti egyenletekbe a kör sugarára

r \approx 0, 26 ℓ

, a vezetéket feszítő erőre pedig

F \approx 0, 26 I B ℓ

értéket kapunk.

6. ábra

b)

Ebben az esetben a vezetőhuzal darabkáira nem hat a mágneses térerősséggel párhuzamos irányú erő, ezért a vezetéket feszítő erő

B

-irányú komponense állandó. A mágneses mező által a vezető darabkáira kifejtett erő mindenhol merőleges a huzalra, ezért a vezeték minden pontjában ugyanakkora erő ébred. E két tényből következik, hogy a vezetéket feszítő erő mágneses térerősségre merőleges komponense állandó kell legyen, azaz a mágneses térerősség irányából nézve a vezetékre egy kört fogunk látni, a huzal alakja pedig egyenletes menetemelkedésű, a mágneses térerősséggel párhuzamos tengelyű, egymenetes csavarvonal lesz (lásd a 7. ábrát). (Elvben a többmenetes csavarvonal alak is egyensúlyi helyzet, ez azonban könnyen beláthatóan labilis.)

7. ábra

A csavarvonal menetemelkedésének

ϑ

szögét (azaz a csavarvonal adott pontbeli érintője és az ugyanezen ponton átmenő, a

B

-térre merőleges sík által bezárt szöget) egyszerű geometriával számíthatjuk ki:

\begin{matrix} sin ϑ = \frac{ℓ}{2 ℓ}, ebből ϑ = 30^{\circ} . \end{matrix}

A csavarvonalra illeszkedő, képzeletbeli hengerpalást

R

sugara:

\begin{matrix} R = \frac{ℓ cos ϑ}{2 π} = \frac{\sqrt[]{3} ℓ}{4 π} \approx 0, 138 ℓ . \end{matrix}

Most térjünk rá az erő kiszámítására! A csavarvonal tengelyének irányából nézve azt látjuk, hogy az

R

sugarú, teljes körnek látszó vezetéket a mágneses Lorentz-erő próbálja szétfeszíteni, ezt ellensúlyozza a vezetékben ébredő erőnek a mágneses térerősségre merőleges

F cos ϑ

nagyságú komponense:

I B R = F cos ϑ

. Felhasználva

R

kifejezését megkapjuk a vezetéket feszítő erőt:

\begin{matrix} F = \frac{I B ℓ}{2 π} \approx 0, 159 I B ℓ . \end{matrix}

Látszik, hogy a huzalban ébredő erő független a

P_{1}

és

P_{2}

pontok

d

távolságától (

0 < d < ℓ

Megjegyzés. A verseny eredményhirdetésén a 3. feladatban szereplő kísérleti elrendezés is bemutatásra került. A kísérlet megvalósítása egyszerű körülmények között nehéz, több gyakorlati nehézségbe is ütközik.
A feladat szövegében homogén, erős mágneses tér szerepel. Ezt a két feltételt nem könnyű egyszerre teljesíteni. Aránylag nagy térrészben homogén és erős mágneses teret csak nagyon nagy (és drága) eszközökkel lehet előállítani. A kísérleti bemutatón a tér előállítására Helmholtz-tekercset használtunk¹, melynek tere a tekercsek közti tér közepén elég jó közelítéssel homogén ‐ viszont nem túl erős. (A Föld mágneses terénél azért egy-két nagyságrenddel nagyobb.)
A feladat szövegében szereplő vezeték könnyű, vékony és hajlékony. A szövegben a ,,könnyű'' azt jelenti, hogy a vezeték súlya elhanyagolható a mágneses tér által kifejtett erőhöz képest. (Az ,,erős mágneses tér'' pedig arra utal, hogy a vezeték saját mágneses terének hatását is elhanyagolhatjuk.) A feltételek teljesítéséhez nagyon vékony vezetéket kellett használnunk: egy kb. 0,1 mm vastag vörösréz huzalt, amely olyan vékony, hogy alig látszik. A huzal vastagsága viszont korlátozza a vezetéken átfolyó áram nagyságát is, pedig a nem túl erős mágneses tér mellett minél nagyobb áramra van szükség a jelenség bemutatásához. Az áramerősséggel elmentünk a határokig: a vezeték (miután leégett róla a szigetelő lakk) vörösen izzott ‐ és így az elsötétített teremben láthatóvá is vált.
A bemutatón először egy, a feladathoz lazábban kapcsolódó kísérletet mutattunk be: egy kisnyomású héliummal töltött csőben figyeltük meg az elektronok mozgását. Az izzókatódból kilépő, felgyorsított elektronok a Helmholtz-tekercsben kör-, illetve csavarvonal alakú pályán mozognak, és pályájuk a gerjesztett héliumatomok zöld fényének köszönhetően látható².
Ezután vizsgáltuk a vezeték alakját. Még egy ilyen vékony vezeték is aránylag merev (tehát a hajlékonyságot se könnyű biztosítani), de a feladat

a)

részének megfelelő elrendezésben az áram bekapcsolásakor jól láthatóan kör alakban kifeszült, az áramirány változtatásakor pedig a körív

180^{\circ}

-kal átfordult. A vezeték végeinek

90^{\circ}

-os elforgatásakor (a feladat

b)

részének megfelelő elrendezésben) jól megfigyelhetően kialakult a csavarvonal forma. (A feladatban kérdezett kicsiny erők mérésére ebben az egyszerű demonstrációban természetesen nem volt lehetőség.)

¹http://fizipedia.bme.hu/images/a/a7/Helmholtz2.jpg

²http://fizipedia.bme.hu/images/9/90/Eperm5.jpg