Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/március, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Optikai rácsok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: 2013. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először képzeljük el, milyen lenne a diffrakciós kép, ha minden második rést (a másodikat, negyediket stb.) kitakarnánk! Ekkor a $4 d$ távolságra elhelyezkedő rések egy szokásos optikai rácsot alkotnának, az $n$ -edik elhajlási maximum ernyőn mérhető $x_{n}$ helyzetét pedig a

\begin{matrix} 4 d sin α_{n} & = n λ, \\ sin α_{n} & \approx x_{n} / L \end{matrix}

összefüggések alapján számíthatjuk:

\begin{matrix} x_{n} = n \frac{λ L}{4 d} . \end{matrix}

(

*

)

3. ábra

Ugyanilyen lenne az elhajlási kép, ha a másik réssort (azaz az első, harmadik stb. rést) takarnánk ki. A feladatban kérdezett esetre visszatérve meg kell vizsgálnunk, hogy a (

*

) egyenlet által meghatározott irányokban hogyan adódik össze a két,

d

távolsággal eltolt,

4 d

periódusú réssoron áthaladó fény amplitúdója. Négy esetet kell megvizsgálnunk:

•

n = 4 k + 1

, akkor a két réssoron áthaladó fény közötti útkülönbség

λ / 4

, ami

π / 2

fáziskülönbségnek felel meg. Két,

π / 2

fáziskülönbséggel találkozó, azonos amplitúdójú hullám összegének amplitúdója (rögzített helyen):

\begin{matrix} E_{0} sin (ω t) + E_{0} sin (ω t + π / 2) = E_{0} sin (ω t) + E_{0} cos (ω t) = \\ = \sqrt[]{2} E_{0} (\frac{1}{\sqrt[]{2}} sin (ω t) + \frac{1}{\sqrt[]{2}} cos (ω t)) = \sqrt[]{2} E_{0} sin (ω t + π / 4) . \end{matrix}

Az amplitúdó tehát az egy réssoron átjutó fény amplitúdójának

\sqrt[]{2}

-szerese, azaz az intenzitás az egy réssor esetében mérhető intenzitás kétszerese.

$•$	Ha $n = 4 k + 2$ , akkor a két réssor közötti fáziskülönbség $π$ , tehát ilyen irányokban tökéletes kioltást tapasztalunk.

$•$	Ha $n = 4 k + 3$ , a fáziskülönbség $3 π / 2$ , így az amplitúdó (az első esethez hasonlóan) az egyetlen réssoron áthaladó fény amplitúdójának $\sqrt[]{2}$ -szerese, az intenzitás pedig a kétszerese lesz.

$•$	Ha $n = 4 k$ , akkor minden sugár erősíti egymást, az amplitúdó tehát egyetlen réssoron áthaladó fény amplitúdójának kétszerese, az intenzitás pedig négyszerese lesz.

Összefoglalva: a 4. ábrán látható intenzitáseloszlás alakul ki, a nagy intenzitású maximumok közötti távolság

λ L / d

4. ábra

Megjegyzések. 1. Optikai ráccsal keltett diffrakciós (elhajlási) kép esetén az ernyőn kialakuló vonalak rendkívül keskenyek, ezek a vonalak meglehetősen ,,élesek''. A közepes vonalszélesség jó közelítésben annyiad része két egymás utáni vonal távolságának, ahány résből áll a rács. Ez pedig legalább száz, de akár sok ezer is lehet.
2. A második feladat megoldásának a bemutatását is kísérleti szemléltetés követte. A feladat szövegének megfelelő optikai rácsot Kis Lajos (Szeged) készítette el a következő módon. A rács (arányosan megnövelt méretű) mintázatát számítógépes rajzolóprogram segítségével egy A/3 méretű lapra nyomtatta, majd a lapot megfelelő távolságból elegendően finom szemcseméretű filmre fényképezte. A lapra nyomtatott vékony, sötét vonalak a filmnegatívon áteresztő résekként jelentek meg. Az eredményhirdetésen a lézerrel megvilágított rács elhajlási képe az elméleti számításokkal megegyező módon, jól láthatóan jelent meg a terem vetítőernyőjén.