Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/március, 166 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Gördülés lejtőn
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: 2013. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A $h$ magasságból elengedett testek gravitációs helyzeti energiája a lejtő alján mozgási energiává alakul:

\begin{matrix} m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} Θ ω^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k m R^{2} \frac{v^{2}}{R^{2}}, \end{matrix}

ahol

m

a testek tömege,

R

a sugaruk, a tehetetlenségi nyomatékot pedig

Θ = k m R^{2}

alakban írtuk fel. Felhasználtuk továbbá, hogy a tiszta gördülés miatt a testek tömegközéppontjának

v

sebessége és a forgásuk

ω

szögsebessége között fennáll a

v = R ω

kényszerfeltétel. Ebből az indítási magasságra a következő adódik:

\begin{matrix} h = \frac{v^{2}}{2 g} (1 + k) . \end{matrix}

A tömör alumíniumhenger esetében

k_{Al} = 1 / 2,

vagyis

h_{Al} = 3 v^{2} / (4 g) = 7, 6

cm.
A rézcső tömege is, külső sugara is megegyezik az alumíniumhenger adataival. Így kifejezhetjük a rézcső belső

r

sugarát

R

segítségével:

\begin{matrix} \frac{R^{2}}{R^{2} - r^{2}} = \frac{ϱ_{Cu}}{ϱ_{Al}} \to r^{2} = \frac{(ϱ_{Cu} - ϱ_{Al})}{ϱ_{Cu}} R^{2} . \end{matrix}

A rézcső tehetetlenségi nyomatékát

\begin{matrix} Θ_{Cu} = \frac{1}{2} ϱ_{Cu} π ℓ (R^{4} - r^{4}) \end{matrix}

alakban írhatjuk fel, ahol

ℓ

a hengeres testek hosszúsága. Kihasználhatjuk, hogy tömegek megegyeznek, ennek alapján a rézcső tehetetlenségi nyomatékra a következőt kapjuk:

\begin{matrix} Θ_{Cu} = \frac{1}{2} m R^{2} (1 + \frac{ϱ_{Cu} - ϱ_{Al}}{ϱ_{Cu}}) = \frac{2 ϱ_{Cu} - ϱ_{Al}}{2 ϱ_{Cu}} m R^{2} . \end{matrix}

A kapott eredményből leolvasható, hogy

\begin{matrix} k_{Cu} = \frac{1}{2} \frac{2 ϱ_{Cu} - ϱ_{Al}}{ϱ_{Cu}} = 0, 85, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} h_{Cu} = \frac{2 (1 + k_{Cu})}{3} h_{Al} = 9, 4 cm . \end{matrix}

b)

A kissé puha felületen a hengeres testekre a nehézségi erő mellett a felület fejt ki erőt, melynek támadáspontja mindkét test esetén ugyanoda esik. A felület által kifejtett kényszererő (ezt szaggatott nyíl jelöli) két összetevőre bontható: a függőleges összetevő nagysága

m g

(ezt szokás nyomóerőnek hívni), míg a vízszintes összetevőt jelöljük

S

-sel (ez felel meg a tapadási súrlódási erőnek).

2. ábra

A kényszererő függőleges összetevője hatásvonalának és a hengeres test középpontjának a távolsága legyen

d

, a vízszintes felületen megtett utat pedig jelöljük

x

-szel. A testek tömegközéppontjának gyorsulását a dinamika alapegyenlete írja le:

\begin{matrix} \sum F = m a . \end{matrix}

Az alumíniumhenger esetén a vízszintes irányú gyorsulást az

S_{Al}

súrlódási erő okozza:

\begin{matrix} S_{Al} = m a_{Al} = m \frac{v^{2}}{2 x_{Al}}, \end{matrix}

ahol

v = 1

m/s és

x_{Al} = 2

m.
A tiszta gördülés miatt a henger szöggyorsulása

β_{Al} = a_{Al} / R

. Ezt a szöggyorsulást a forgómozgás alapegyenlete értelmében a testre ható erők (tömegközéppontra vonatkoztatott) forgatónyomatékának eredője hozza létre:

\begin{matrix} \sum M = Θ β . \end{matrix}

Írjuk fel a forgómozgás alapegyenletét az alumíniumhengerre, majd fejezzük ki a

d

távolságot:

\begin{matrix} M = m g d - S_{Al} R = m g d - m \frac{v^{2}}{2 x_{Al}} R = Θ_{Al} β_{Al} = \frac{1}{2} m R^{2} \frac{a_{Al}}{R} = \frac{1}{2} m R^{2} \frac{v^{2}}{2 x_{Al} R}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} d = \frac{3 v^{2}}{4 g x_{Al}} R . \end{matrix}

A rézcső esetén a tapadási súrlódási erő más lesz (és természetesen a tehetetlenségi nyomaték is más), de a többi mennyiség ugyanaz marad. Újra fel kell írnunk a haladó mozgásra és a forgásra a dinamikai alapegyenleteket:

\begin{matrix} S_{Cu} & = m a_{Cu} = m \frac{v^{2}}{2 x_{Cu}}, \\ M & = m g d - S_{Cu} R = m g d - m \frac{v^{2}}{2 x_{Cu}} R = Θ_{Cu} β_{Cu} = \\ = k_{Cu} m R^{2} \frac{a_{Cu}}{R} = k_{Cu} m R^{2} \frac{v^{2}}{2 x_{Cu} R}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} d = \frac{(1 + k_{Cu}) v^{2}}{2 g x_{Cu}} R . \end{matrix}

A kétféleképpen kifejezett

d

távolság összevetéséből a rézcső útja a vízszintes felületen:

\begin{matrix} x_{Cu} = \frac{2 (1 + k_{Cu})}{3} x_{Al} = 2, 46 m . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Vegyük észre, hogy ahányszor magasabbról indítottuk a rézcsövet, annyiszor messzebb áll meg a vízszintes felületen. Ezt úgy is interpretálhatjuk, hogy a teljes mechanikai energia a kezdeti magassággal arányos, és a mechanikai energia ,,hővé alakulása'' (disszipációja) pedig a vízszintes szakaszon megtett úttal arányos. Azonban ez az energiadisszipáció nem írható fel a súrlódási erő és a megtett út szorzataként, hiszen ha így írnánk fel, akkor mindkét testre ugyanakkora súrlódási erőt kapnánk, ami nyilvánvalóan hamis következtetés lenne. Az energia nem a szokásos csúszási súrlódás formájában disszipálódik (gyakorlatilag tiszta gördülés történik, lényegében tapadó súrlódás lép fel), hanem a testek alatti felület nem tökéletesen rugalmas benyomódása okozza a mechanikai energiaveszteséget. Feltehetjük, hogy mindkét test esetén ugyanolyan széles és ugyanolyan mély a benyomódás, ezért tapasztalhatjuk azt, hogy a disszipáció a nyom hosszával arányos.
2. Érdemes észrevennünk azt is, hogy a felületre merőleges nyomóerő forgatónyomatéka lassítja a testek forgását, míg a súrlódási erő gyorsítja a forgást. A súrlódási erő kicsi, de az erőkarja (

R

) nagy (a benyomódás mértéke elhanyagolható a sugárhoz képest), míg a nyomóerő jelentős, de az erőkarja (

d

) kicsi. Az alumíniumhenger esetén a súrlódási erő a nyomóerőnek (

m g

-nek) hozzávetőlegesen 1/40 része, a rézcsőnél mindössze 1/50 része. A

d

távolság a sugárnak nagyjából 3/80 része, tehát a nyomóerő forgatónyomatéka az alumíniumhenger esetén másfélszer akkora, mint a súrlódási erő nyomatéka (a rézcsőnél ez az arány másfélnél valamivel nagyobb). Ez azt mutatja, hogy a kétféle nyomaték összemérhető.
3. A számításokban a képletek leegyszerűsítése érdekében a gyorsulások és a szöggyorsulások abszolút értékével számoltunk, miközben természetesen nyilvánvaló, hogy a vízszintes felületen a testek gyorsulása is, szöggyorsulása is negatív.
4. Az eredményhirdetésen az első feladat megoldásának ismertetése után a hallgatóság egy valódi kísérletről készült videófelvételen láthatta, hogy egy tömör alumíniumhenger és egy ugyanolyan tömegű, illetve ugyanolyan külső méretű rézcső a példa megoldásának megfelelően nem egyforma úton lassul le vízszintes felületen, ha azonos kezdősebességgel, tisztán gördülve, egyszerre indítjuk őket. A puha felületet egy asztallapra leterített abrosz szolgáltatta, az azonos sebességű, egyidejű indítás egy hosszú vonalzóval történt.