Kezdőlap


Feladat:	4539. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fehér Zsombor , Sárvári Péter
Füzet:	2013/december, 562 - 565. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladatok, Merev test mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/április: 4539. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a hengeres testet az asztal sima felén valamekkora

v_{0}

kezdősebességgel meglökjük, a test rácsúszik az érdes felületre, és az alaplapjánál egyre nagyobb súrlódási erő fékezi. Tegyük fel, hogy

v_{0}

elég nagy ahhoz, hogy a test teljes egészében átcsússzon a határvonalon és az asztal érdes felén mozogjon. A súrlódási együttható nagyságától függően többféle ,,forgatókönyv'' is elképzelhető, vizsgáljuk ezeket külön-külön.

1. ábra

I. eset. Tételezzük fel, hogy a test nem billen fel, hanem az alaplapján csúszik (1. ábra). A súrlódási erő ilyen esetben

\begin{matrix} S = μ N, \end{matrix}

(1)

ahol

N

az asztal által kifejtett, függőlegesen felfelé ható nyomóerő. A nyomóerő hatásvonala nem megy át a henger középpontján, attól valamekkora

d

távolságra lesz, de nyilván teljesül, hogy

\begin{matrix} d \leq r . \end{matrix}

(2)

A test vízszintes és függőleges irányú mozgásának egyenletei:

\begin{matrix} S = m a, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} m g - N = 0, \end{matrix}

(4)

illetve a forgómozgás hiányának feltétele:

\begin{matrix} S \cdot 2 r - N \cdot d = 0. \end{matrix}

(5)

Az (1)‐(5) feltételekből a test lassulására

a = μ g

, a súrlódási együtthatóra pedig a

μ < \frac{1}{2} = 0, 5

megszorítás adódik. Ez a feltétel az

a)

esetben megadott súrlódási együtthatóra teljesül. Ilyenkor tehát a hengeres test nem borul fel, hanem ,,talpon maradva'' ‐ fokozatosan csökkenő sebességgel ‐ mozog, végül megáll.

II. eset. Ha

μ > 0, 5

a súrlódási együttható, akkor a test nem csúszhat forgásmentesen, hanem az alaplapjának legelöl levő

P

pontja körül valamekkora

β

szöggyorsulással megbillen. Eközben a tömegközéppont mozgása vízszintes irányban fékeződik, de fel kell lépjen valamekkora függőleges irányú gyorsulás is, különben a

P

pont nem maradhatna az asztal síkjában.
A megfelelő mozgásegyenletek (a 2. ábra jelöléseit használva):

\begin{matrix} N - m g = m a_{1}, \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} S = m a_{2}, \end{matrix}

(7)

a forgómozgás alapegyenlete a tömegközéppontra felírva:

\begin{matrix} 2 r S - N r = \frac{19}{12} m r^{2} \cdot β, \end{matrix}

(8)

a csúszás miatt a súrlódási erő és a nyomóerő kapcsolata:

\begin{matrix} S = μ N, \end{matrix}

(9)

2. ábra

és végül a

P

pont függőleges irányú elmozdulásának hiányából adódó kényszerfeltétel:

\begin{matrix} a_{1} - r β = 0. \end{matrix}

(10)

A (6)‐(10) egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} a_{1} = \frac{μ - \frac{1}{2}}{\frac{31}{24} - μ} g, a_{2} = \frac{\frac{19}{24} μ}{\frac{31}{24} - μ} g, S = \frac{\frac{19}{24} μ}{\frac{31}{24} - μ} m g, N = \frac{\frac{19}{24}}{\frac{31}{24} - μ} m g . \end{matrix}

(11)

Ez az eredmény nyilván csak akkor érvényes, ha

\begin{matrix} a_{1} > 0, vagyis ha \frac{1}{2} \leq μ \leq \frac{31}{24} \approx 1, 3. \end{matrix}

Ennek a követelménynek a

b)

esetben megadott súrlódási együttható tesz eleget. Ilyenkor a hengeres test csúszik és közben felborul, vagy legalábbis elkezd billenni. (Az, hogy ténylegesen eldől-e, nyilván a sebességének nagyságától is függ. Elképzelhető, hogy hamarabb megáll, mint felborul, és az álló helyzetében ismét függőleges lesz a henger tengelye.)

III. eset. Mi történik, ha

μ > 1, 3

, például a

c)

esetben megadott súrlódási együtthatónál? A (6)‐(10) egyenletek nyilván nem maradhatnak érvényben, hiszen belőlük az következne, hogy a test tömegközéppontja függőlegesen lefelé gyorsul, ami lehetetlen! Valami másnak kell történnie.
Képzeljük el, hogy a súrlódási együttható a kritikus

\frac{31}{24} =

1,29 értéknél csak egy nagyon kicsivel kisebb. Ekkor még a II. esetnek megfelelő forgatókönyv szerint történik henger mozgása, vagyis fékeződik és közben megbillen. A (11) képletekből látszik, hogy a kritikus súrlódás közelében a tömegközéppont gyorsulásának mind a vízszintes, mind pedig a függőleges komponense nagyon nagy, tehát a test

P

pontja szinte hirtelen megáll, miközben a tömegközéppont függőleges irányú sebességre tesz szert, és a szögsebessége is szinte azonnal megváltozik. Mindez azért lehetséges, mert ebben a határesetben az

N

nyomóerő és az

S

súrlódási erő is nagyon naggyá válik, az

m g

nehézségi erőt sokszorosan meghaladhatja. Az egész folyamat (a sebességek és szögsebességek hirtelen változása) ütközés jellegű: a test úgy borul fel, hogy az asztallal érintkező legalsó pontja nem csúszik, hanem ‐ mintha egy ütközőnek ment volna neki ‐ megszorul, hirtelen megáll.
Az események nyilván ugyanígy mennek végbe akkor is, ha a súrlódási együttható a kritikus értéknél nagyobb, pl. ha

μ =

1,4. Az a kérdés, hogy a megbillenő test ténylegesen felborul-e, vagy esetleg visszadöccen függőleges tengelyű helyzetébe, a meglökött test kezdősebességének ismerete nélkül nem dönthető el.