Feladat:	4537. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Holczer András ,  Horicsányi Attila
Füzet:	2013/szeptember, 371 - 373. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gördülés (Merev testek síkmozgása)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/április: 4537. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az elinduló futószalag a súrlódás miatt vízszintes irányú (nem biztos, hogy állandó nagyságú) erőt fejt ki a sajtra. Ennek hatására a sajt tömegközéppontja mozgásba jön, és a tömegközéppont körül forogni is kezd a henger alakú test. Jelöljük a súrlódási erő átlagos nagyságát $F$-fel, az erőhatás időtartamát pedig $\Delta t$-vel! Az $m$ tömegű, $R$ sugarú sajt mozgásegyenletei: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=ma\mathrm{,}FR=\Theta \beta \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $a$ a tömegközéppont gyorsulása, $\beta$ a sajt szöggyorsulása, $\Theta =\frac{1}{2}m{R}^2$ pedig a (kevés ,,lyukat'' tartalmazó, homogén tömegeloszlásúnak tekintett) trappista sajt tehetetlenségi nyomatéka.     1. ábra   A tömegközéppont $\Delta t$ idő alatt $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=a\cdot \Delta t=\frac{F}{m}\Delta t}\end{array}$ sebességre gyorsul fel. Ugyanennyi idő alatt a sajt szögsebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\beta \Delta t=\frac{FR}{\Theta }\Delta t\mathrm{,}}\end{array}$ a futószalaggal érintkező pontjának a tömegközépponthoz viszonyított kerületi sebessége pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{k}}=R\omega =\frac{F{R}^2}{\Theta }\Delta t=\frac{2F}{m}\Delta t}\end{array}$ lesz. Látható, hogy a gyorsítás bármely pillanatában $v_{\text{k}}=2v_1$. (Érdekes, hogy ez az összefüggés a sajt tömegétől és a súrlódás nagyságától függetlenül mindig teljesül.) A sajt addig gyorsul, amíg a legalsó pontjának $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1+v_{\text{k}}=v_1+2v_1=3v_1}\end{array}$ sebessége el nem éri a futószalag $v_0=60$ cm/s sebességét, ezt követően mind a tömegközéppont mozgása, mind pedig a forgómozgás (a szalag megállásáig) egyenletes marad. Ezek szerint a sajt középpontjának sebessége $\frac{1}{3}{v}_0=20$ cm/s lesz.     II. megoldás. Szemeljünk ki egy álló pontot a futószalag síkjában! Erre a pontra vonatkoztatva a sajt perdülete (impulzusmomentuma) nem változhat meg, hiszen a súrlódási erő erőkarja nulla, továbbá a nehézségi erő és a futószalag által kifejtett nyomóerő (melyek ugyanazon egyenes mentén hatnak) összege nulla, tehát a sajtra ható külső erőknek a kérdéses pontra nézve nincs eredő forgatónyomatéka. A sajt perdülete kezdetben (a szalag megindulása előtt) nyilván nulla. Később, amikor a középpontja $v_1$ sebességgel mozog és a forgásának szögsebessége $\omega$, a sajt teljes perdülete a forgásból adódó $N_1=\Theta \omega =\frac{1}{2}m{R}^2\omega$ és a tömegközéppont mozgásából származó $N_2=m{v}_{1}R$ előjeles összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=N_1-N_2=mR\left(\frac{R\omega }{2}-v_1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A perdület megmaradása miatt $N=0$, tehát $v_1=\frac{R\omega }{2}$ kell teljesüljön. Másrészt tudjuk, hogy amikor a sajt már tisztán gördül a $v_0$ sebességű futószalagon, fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0-v_1=R\omega =2v_1\mathrm{,}\text{tehát}{v}_1=\frac{v_0}{3}=20\frac{\text{cm}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$