A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a kötél egységnyi hosszúságú darabjának tömegét -gal, a függőlegesen lelógó egy-egy rész hosszát pedig -szel (1. ábra)! Vizsgáljuk a belógó kötél egyik felének egyensúlyát (2. ábra)! Ennek a résznek a súlya . A kötelet feszítő erő vízszintes komponense a kötél minden pontjában ugyanakkora, hiszen a nehézségi erő függőleges. A függőleges komponens helyről helyre változik, a kötél közepénél nulla, a szegnél pedig a belógó rész felének súlya: .
1. ábra A szegnél ható erő nagysága, ami a lelógó függőleges kötél súlyával egyenlő, Pitagorasz tétele alapján számítható:
2. ábra
3. ábra Képzeljük el, hogy a kötelet a belógó rész közepénél elvágjuk, majd egy kicsiny, hosszúságú darabbal nagyon lassan feljebb húzzuk, végül pedig a szegnél a hosszúságú darabot kivágjuk és visszavisszük az elvágás helyére, majd ott visszatoldjuk a kötélbe (3. ábra). Mivel ilymódon az eredeti állapothoz jutunk vissza, az összes munkavégzés nulla kell legyen: , vagyis (1) és (2) összevetéséből a függőlegesen lelógó részek hosszára a kötél keresett teljes hosszára pedig adódik, amit alakban is fel lehet írni.
II. megoldás. Osszuk fel a kötelet (gondolatban) kicsiny, hosszúságú darabkákra , és jelöljük a kis darabkák végpontjai közötti magasságkülönbséget -vel (4. ábra). Ha az -edik kis darabka egyik végpontjánál ható függőleges irányú erő, pedig az -től független vízszintes erőkomponens, akkor az eredő nagyságára fennáll:
4. ábra Fennáll továbbá, hogy ahol a kötél egységnyi hosszának tömege, valamint a kötéldarabkákra ható erő és az érintő megegyező irányából: | | (4) | Az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy bármilyen mennyiség négyzetének kicsiny megváltozása: | | (5) | ha . Képezzük a (3) egyenlet mindkét oldalának kicsiny megváltozását, vagyis hasonlítsuk össze az -edik és az -edik egyenletet, és alkalmazzuk az (5) azonosságot! Mivel -től független állandó, azaz (4) így írható: | |
Összegezzük a fenti egyenletben szereplő mennyiségeket a kötél belógó részének felére. Mivel , a 4. ábra jelöléseivel Ez éppen az I. megoldás (2) egyenlete, amelyből (1) felhasználásával a kötél teljes hosszára az eredmény adódik.
|
|