Feladat: 4524. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2013/szeptember, 368. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Egyéb ellenállás-kapcsolások, Egyenáramú műszerek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/március: 4524. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a tolóellenállás bal oldali részének ellenállását r-rel, a másik rész ellenállása ekkor R-r. Az áramkör viszonyait az ábrán látható kapcsolás mutatja. Feladatunk a kezdeti r=R/2 és egy későbbi r>R/2 helyzethez tartozó mért feszültség- és áramerősség-adatok összehasonlítása.
Számítsuk ki az áramkör Re eredő ellenállását r függvényében:

 
 
Re(r)=rRVr+RV+(R-r)+RA=rR-r2+RRVr+RV+RA.(1)
Megmutatjuk, hogy az Re(r) monoton csökkenő függvény:
Re(r2)-Re(r1)<0,har2>r1.
Valóban, (1)-ből algebrai átalakítások után kapjuk, hogy
Re(r2)-Re(r1)=-(r2-r1)r1r2+RV(r1+r2)(r1+RV)(r2+RV)<0,
hiszen a képletben szereplő tört is, és (r2-r1) is pozitív. Ezek szerint a tolóellenállást bármely helyzetéből jobbra tolva az érintkezőt az eredő ellenállás csökken, tehát (állandó telepfeszültség mellett) az árammérő által mutatott Imért érték növekszik.
 
Megjegyzés. Ezt az eredményt az Re(r) függvény deriváltjának vizsgálatából is megkaphatjuk.
 

Az is könnyen belátható, hogy a feszültségmérő által mutatott érték is növekszik, hiszen az nem más, mint az áramerősség és a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének szorzata:
Umért=Imért11r+1RV.(2)
Az érintkező jobbra tolásával (r növelésével) Imért ‐ mint láttuk ‐ növekszik, továbbá (2) jobb oldalán a nagy tört nevezőjének egyik tagja csökken, a másik állandó, vagyis a tört értéke is nő. Így tehát a feszültségmérő által mutatott Umért is növekszik.