Kezdőlap


Feladat:	4501. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fábián Kristóf
Füzet:	2013/május, 305 - 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kötelek (láncok) dinamikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/január: 4501. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.

a)

A kötél tömegközéppontjának süllyedése

ℓ / 4

(1. ábra), így az

m

tömegű kötél sebessége az energiamegmaradás

\begin{matrix} m g \frac{ℓ}{4} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} \end{matrix}

törvénye szerint:

\begin{matrix} v_{a} = \sqrt[]{\frac{ℓ g}{2}} \approx 0, 71 \sqrt[]{ℓ g} . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

b)

Jelöljük

x

-szel a bal oldali kötéldarab hosszát a kérdéses pillanatban. Ekkor a tömegközéppont felett 2 darab

x

hosszúságú kötélrész, alatta pedig egy

ℓ - 2 x

hosszúságú rész található (2. ábra). Mindkét rész tömegközéppontja a hosszuk felénél van, így az egész rendszer pillanatnyi tömegközéppontja akkor esik az ábrán szaggatott vonallal jelölt magasságba, ha fennáll:

\begin{matrix} 2 x \cdot \frac{x}{2} = (ℓ - 2 x) \cdot \frac{ℓ - 2 x}{2}, azaz x^{2} - 2 ℓ x + \frac{ℓ^{2}}{2} = 0. \end{matrix}

Ennek a másodfokú egyenletnek számunkra elfogadható (

x < ℓ

) gyöke:

\begin{matrix} x = (1 - \frac{1}{\sqrt[]{2}}) ℓ \approx 0, 29 ℓ . \end{matrix}

A kötél

v_{b}

sebességét ismét az energiamegmaradás tétele alapján számolhatjuk. Mivel a tümegközéppont süllyedése most

\begin{matrix} h = x - \frac{ℓ}{4} \approx 0, 04 \cdot ℓ, \end{matrix}

m g h = \frac{1}{2} m v_{b}^{2}

alapján

\begin{matrix} v_{b} = \sqrt[]{2 g h} = \sqrt[]{\frac{3}{2} - \sqrt[]{2}} \cdot \sqrt[]{ℓ g} \approx 0, 29 \sqrt[]{ℓ g} . \end{matrix}