Feladat:	4496. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czipó Bence ,  Gnädig Péter ,  Sztilkovics Milán
Füzet:	2013/május, 302 - 305. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Impulzusmegmaradás törvénye, Egyéb síkmozgás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/december: 4496. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a kis test sebességét a kiskocsira csúszáskor $v$-vel, a kocsi legnagyobb sebességét pedig $V$-vel (1. ábra)! A súrlódásmentes mozgás miatt érvényes a mechanikai energiamegmaradás törvénye: $\begin{array}{c}{\displaystyle mgh=\frac{1}{2}m{v}^2\mathrm{,}\text{ahonnan}v=\sqrt[]{2gh}\mathrm{.}}\end{array}$     1. ábra   $a)$ A kis test a hengerpaláston csúszva akkor érhet el az $A$ pontig, ha a rá ható $K$ kényszererő a mozgása során mindvégig a felülethez szorítja, tehát sehol nem válik negatívvá. Ennek a feltételnek a legfelső pontban is teljesülnie kell (belátható, hogy akkor a mozgás korábbi szakaszán is teljesül). Írjuk fel a Newton-egyenletet a kocsihoz rögzített koordináta-rendszerben akkor, amikor a kis test már majdnem az $A$ ponthoz érkezik.   Megjegyzés. A kiskocsi ebben a pillanatban már nem gyorsul, hiszen a kényszererőnek nincs vízszintes komponense, emiatt a kocsi vonatkoztatási rendszere inerciarendszer, a Newton-egyenlet tehát eredeti formájában alkalmazható. Ha a kis test mozgását már korábban is a kiskocsi koordináta-rendszeréből akarnánk leírni, ezt csak ún. tehetetlenségi erők felhasználásával tehetnénk meg.     2. ábra   Ha a kis testnek a kocsihoz viszonyított (relatív) sebességét $v_{\text{rel}}$-lel jelöljük, a mozgásegyenlet (2. ábra): $\begin{array}{c}{\displaystyle mg+K=m\frac{v_{\text{rel}}^2}{R}\mathrm{,}\text{azaz}K=m\left(\frac{v_{\text{rel}}^2}{R}-g\right)\ge 0.}\end{array}$ Tudjuk még, hogy a kis test az $A$ pontban éppen megáll a talajhoz képest, emiatt a relatív sebesség éppen a kiskocsi sebességével egyezik meg: $v_{\text{rel}}=V$. A kényszererőre vonatkozó feltétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle V\ge \sqrt[]{gR}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a szabadon eső kis test $2R$ magasságból $t=\sqrt[]{4R/g}$ idő alatt ér le a kocsira, s ezalatt a kocsi $Vt=L/2$ utat tesz meg, a kocsi hosszára az $\begin{array}{c}{\displaystyle L=2Vt\ge 2\sqrt[]{gR}\cdot \sqrt[]{\frac{4R}{g}}=4R=2\mathrm{,}4\text{m }}\end{array}$ feltételt kapjuk. $b)$ A kocsi $M$ tömegére és az indítás $h$ magasságára a lendületmegmaradás és az energiamegmaradás törvényéből kaphatunk megszorításokat. Mivel a kiskocsiból és a már rajta levő kis testből álló rendszerre nem hat vízszintes irányú külső erő, a lendület vízszintes komponense állandó marad: $\begin{array}{c}{\displaystyle mv=MV\mathrm{,}\text{vagyis}v=\frac{M}{m}V\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt a mechanikai energia megmaradási törvényét is alkalmazhatjuk a kis testnek a kocsira érkezése és az $A$ pontba jutása között: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}M{V}^2+mg\cdot 2R\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a lendületmegmaradásból kapott összefüggést felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{\left(\frac{M}{m}V\right)}^2=\frac{1}{2}M{V}^2+mg\cdot 2R\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{M}{m}\right)}^2-\left(\frac{M}{m}\right)-\frac{4gR}{V^2}=0.}\end{array}$ Ez egy másodfokú egyenlet a tömegarányra, melynek konstans tagja a kényszererőre vonatkozó feltétel miatt a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<\frac{4gR}{V^2}\le 4}\end{array}$ határok közé esik. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle 1<\frac{M}{m}\le \frac{1+\sqrt[]{17}}{2}=2\mathrm{,}\mathrm{56,}}\end{array}$ vagyis a kiskocsi tömege $\begin{array}{c}{\displaystyle m=2\text{kg}<M\le 2\mathrm{,}56m=5\mathrm{,}12\text{kg. }}\end{array}$ $c)$ A lejtő magassága $\begin{array}{c}{\displaystyle h=\frac{v^2}{2g}=\frac{V^2}{2g}{\left(\frac{M}{m}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Határesetben, amikor a kényszererő az $A$ pontban nullára csökken, $\begin{array}{c}{\displaystyle V^2=gR\text{és}\frac{M}{m}=\frac{1+\sqrt[]{17}}{2}\approx 2\mathrm{,}\mathrm{56,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle h={\left(\frac{1+\sqrt[]{17}}{2}\right)}^2\frac{R}{2}\approx \mathrm{2,0}\text{m. }}\end{array}$ Általános esetben (amikor a kényszererő az $A$ pont közelében még határozottan pozitív) a $h>2$m feltételnek kell teljesülnie.   Megjegyzések. 1. A kiskocsi tömegére adódó alsó és felső korlát szemléletes jelentése a következő: Ha a kocsi tömege nagyon nagy lenne, akkor a kis test (mint egy merev falról) ,,visszapattanna'' róla, nem csökkenhetne nullára a sebessége. A másik véglet: ha a kocsi tömege kisebb lenne, mint a lecsúszó testé, akkor a kiskocsi nem tudná lefékezni a kis testet, hanem a ,,puha ütközés'' után mindketten jobbra mozognának. 2. Sok versenyző úgy gondolta, hogy ha a kis test sebessége az $A$ pontban nullára csökken, akkor ugyanitt a $K$ kényszererőnek is nullához kell tartania. Ez azonban nem igaz: a kényszererő csak a hengerpalástot elhagyva válik $K\text{'}=0$ értékűvé (lásd a 2. ábrát), közvetlenül előtte véges nagyságú, elvben akármilyen nagy lehet. Newton mozgástörvényei csak a sebesség ugrásszerű változását tiltják, hiszen ekkor a gyorsulás és vele együtt a testre ható erő ,,végtelen nagy'' lenne; a gyorsulás (és vele az erőhatás) hirtelen megváltozását semmi nem korlátozza. Dávid és Góliát harcában pl. a parittyában levő kőre ható kényszererő a gyors forgatás során nagyon nagy, majd a parittya elengedése után hirtelen (elvben tetszőlegesen rövid idő alatt) nullára csökkenhet.