Feladat:	4491. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaprinai Balázs
Füzet:	2013/május, 300 - 302. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kepler I. törvénye, Mesterséges holdak
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/december: 4491. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Az űrhajó a pályamódosítás után olyan ellipszis alakú pályán mozog, melynek egyik fókuszpontja a Föld középpontja. (Ez Kepler I. törvényének kiterjesztése az űreszköz mozgására.) Jelölések: $M$ a Föld tömege, $R$ a Föld sugara, $m$ az űrhajó tömege, $f$ a Newton-féle gravitációs állandó, $v_0$ pedig az űrhajó sebessége a pályamódosítás előtt. Az űrhajó eredetileg körmozgást végzett, így teljesül a körmozgás dinamikai feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\frac{Mm}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{m{v}_0^2}{2R}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\sqrt[]{\frac{fM}{2R}}\approx 5\mathrm{,}6\frac{\text{km}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az űrhajó az ellipszis nagytengelyének távolabbi végpontjánál, a Föld felszínétől $h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ távolságban lesz legmesszebb a Földtől, itt a sebessége (nagyságát jelöljük $v_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}$-nel) merőleges a Föld középpontjából induló helyvektorra.       Alkalmazhatjuk Kepler II. törvényét (a Föld középpontjára vonatkoztatott perdületmegmaradási törvényt): $\begin{array}{c}{\displaystyle m{v}_0\cdot 2R\text{sin}\phi =m{v}_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}\cdot \left(R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}\right)\text{sin}{90}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}=v_0\frac{R}{R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az energiamegmaradás törvénye is érvényes: $\begin{array}{c}{\displaystyle -f\frac{Mm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}_0^2=-f\frac{Mm}{R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}}+\frac{1}{2}m{v}_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve $v_0$-t és $v_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}$ korábban kiszámított kifejezését: $\begin{array}{c}{\displaystyle -f\frac{Mm}{2R}+\frac{1}{2}mf\frac{M}{2R}=-f\frac{Mm}{\left(R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}\right)}+\frac{m}{2}\frac{fM}{2R}{\left(\frac{R}{R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan algebrai átalakítások után egy másodfokú egyenletet kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2R}{\left(R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}\right)}^2-2\left(R+h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}\right)+\frac{R}{2}=\mathrm{0,}}\end{array}$ melynek számunkra érdekes (a földtávoli pontnak megfelelő) megoldása $\begin{array}{c}{\displaystyle h_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\left(1+\sqrt[]{3}\right)R\approx 17400\text{km. }}\end{array}$ Ekkora tehát az űrhajó maximális távolsága a Föld felszínétől. $b)$ A pályamódosítás és a becsapódás pillanata közötti mozgásra is alkalmazhatjuk az energiamegmaradás törvényét. A becsapódás sebességének nagyságát $v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$-szal jelölve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle -f\frac{Mm}{2R}+\frac{1}{2}m{v}_0^2}& {\displaystyle =-f\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -f\frac{Mm}{2R}+\frac{1}{2}\frac{mfM}{2R}}& {\displaystyle =-f\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}^2}& {\displaystyle =\frac{3fM}{2R}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ tehát a keresett becsapódási sebesség: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\sqrt[]{3}{v}_0\approx 9\mathrm{,}7\frac{\text{km}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. A feladatban leírt pályamódosítás végrehajtásához az űrhajó teljes tömegével összemérhető mennyiségű hajtóanyagra lenne szükség, emiatt az a gyakorlatban megvalósíthatatlan.