Feladat:	4512. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sal Kristóf ,  Varga Blanka
Füzet:	2013/április, 245 - 246. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hooke-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/február: 4512. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük a rugó egyetlen menetének keresett rugóállandóját $D$-vel, egy-egy menet tömegét pedig $m_0$-lal. Ez utóbbi a teljes $M$ tömeg 40-ed része, tehát 1,5 g. Tudjuk, hogy a rugó teljes megnyúlása ${\ell }_1-{\ell }_0=106\text{cm}-6\text{cm}=100\text{cm}=1\text{m}$, és ez a megnyúlás megegyezik az egyes menetek $\Delta {\ell }_k$ $\left(k=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,40}\right)$ megnyúlásának összegével. A legalsó menet tetejét felfelé $m_{0}g$ erő, az alját lefelé nulla erő húzza, megnyúlása tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\ell }_1=\frac{1}{D}\frac{m_{0}g}{2}=\frac{m_{0}g}{2D}\mathrm{.}}\end{array}$ A felette levő menetre a saját súlyából származó átlagos $m_{0}g/2$ erő és az alatta levő menet $m_{0}g$ súlya hat, a megnyúlása tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\ell }_2=\frac{1}{D}\left(\frac{m_{0}g}{2}+m_{0}g\right)=\frac{3m_{0}g}{2D}\mathrm{,}}\end{array}$ a harmadikra $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\ell }_3=\frac{1}{D}\left(\frac{m_{0}g}{2}+m_{0}g+m_{0}g\right)=\frac{5m_{0}g}{2D}\mathrm{,}}\end{array}$ és így tovább: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\ell }_k=\frac{1}{D}\left(\frac{m_{0}g}{2}+\left(k-1\right)m_{0}g\right)=\frac{\left(2k-1\right)m_{0}g}{2D}\mathrm{,}\left(k=\mathrm{4,5,}\text{...}\mathrm{,40}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A teljes megnyúlás ismeretében $D$ kiszámítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_1-{\ell }_0=\sum _{k=1}^{40}\Delta {\ell }_k=\frac{m_{0}g}{2D}\left(1+3+5+\text{...}+79\right)=\frac{Mg}{40}\frac{1}{2D}\frac{40\left(1+79\right)}{2}=\frac{20Mg}{D}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{20Mg}{{\ell }_1-{\ell }_0}=\frac{20\cdot 0\mathrm{,}06\text{kg}\cdot 9\mathrm{,}81\left(\text{N/kg}\right)}{1\text{m}}=11\mathrm{,}7\frac{\text{N}}{\text{m}}\approx 12\frac{\text{N}}{\text{m}}\mathrm{.}}\end{array}$     II. megoldás. Az egyik végén felfüggesztett, $M=0\mathrm{,}06$ kg tömegű rugóra ható átlagos húzóerő $Mg/2$. A rugó megnyúlása ekkora erő hatására (ha pl. vízszintes helyzetben mindkét végére $Mg/2$ nagyságú erő hatna) $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \ell =\frac{Mg}{2D^{*}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $D^{*}$ a teljes (40 menetes) slinky rugóállandója, $\Delta \ell$ pedig a megadott hosszúságadatok szerint 1,00 m. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle D^{*}=\frac{Mg}{2\Delta \ell }\approx 0\mathrm{,}3\frac{\text{N}}{\text{m}}\mathrm{.}}\end{array}$ Tudjuk továbbá, hogy a 40 menetes rugó (amikor mindkét végét ugyanakkora erővel húzzuk) 40 darab 1 menetes, $D$ rugóállandójú rugó ,,soros'' kapcsolásának tekinthető, és így fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{D^{*}}=\frac{1}{D}+\frac{1}{D}+\text{...}+\frac{1}{D}=\frac{40}{D}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle D=40D^{*}\approx 12\frac{\text{N}}{\text{m}}\mathrm{.}}\end{array}$