|
Feladat: |
4507. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Antalicz Balázs , Balogh Menyhért , Csáky Pál , Kovács Áron , Novák László , Olexo Tünde , Sal Kristóf , Sárvári Péter , Szabó Attila , Ürge László |
Füzet: |
2013/április,
242 - 245. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2013/január: 4507. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a tömegű golyó -edik ütközés utáni sebességét -nel, a tömegű golyó sebességét -nel, az -edik ütközés helye és a fal közötti távolságot pedig -nel! (Az első 2 ütközés hely- és sebességadatait az ábra mutatja.
A két golyó ütközéseire nyilván érvényes a lendület és a mechanikai energia megmaradásának törvénye. Írjuk fel ezeket a megmaradási törvényeket az -edik ütközésre: | | (1) |
| | (2) |
A fenti két egyenletet egymással elosztva kapjuk: vagyis Az ábrán szereplő két ütközés között a tömegű test sebességgel utat, a tömegű test pedig sebességgel utat tesz meg ugyanannyi idő alatt: innen következik, hogy Hasonló módon számítható az -edik és az -edik ütközés között eltelt idő: ahonnan | | (4) | A (3) összefüggés szerint (4) nevezőjében helyébe írható, vagyis fennáll: | | (5) |
Találtunk tehát egy olyan mennyiséget, az kifejezést, amely minden -ra ugyanakkora, így a legelső és a falhoz legközelebb történő -edik ütközésre is megegyezik: Az első ütközés helye a faltól távolságra történik, továbbá a (3) egyenlet alapján (hiszen kezdetben a tömegű golyó nyugalomban volt, azaz ). Ezek szerint Tegyük fel, hogy a tömegű golyó sebessége az -edik ütközés után éppen nullára csökken, lesz. (Ha nem is állna meg teljesen a tömegű golyó, de a következő ütközés után már ,,visszafele'' haladna, akkor is jó közelítéssel nullának vehető a sebessége, hiszen az feltétel azt jelenti, hogy a nagyobb tömegű golyó csak nagyon kis adagokban veszíti el a sebességét.) Mivel a nagyobb golyó sebessége nulla, ezért a teljes kezdeti mozgási energiát már átadta a kis golyónak: | | Visszahelyettesítve (7)-be és -t is kihasználva végül a keresett távolságra az eredményt kapjuk.
II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit követjük. Az energia- és a lendületmegmaradás törvényéből következik, hogy a tömegű golyó az első ütközés után sebességgel kezd mozogni, tehát a mozgási energiája Ezek után úgy is felfoghatjuk az eseményeket, mintha a nagy golyó egy kis (kezdetben térfogatú) csőben adiabatikusan összenyomna egy olyan gázt, amelynek belső energiája a kis golyó mozgási energiája, azaz kezdetben , és szabadsági foka 1 (mivel a ,,gázrészecske'' csak egyetlen dimenzióban, a vízszintes rúd irányába mozdulhat el). A cső keresztmetszetét önkényesen választhatjuk, nagysága a továbbiak szempontjából lényegtelen.
Megjegyzés. Ez a leírás nem teljesen pontos, hiszen a szokásos esettel ellentétben itt most egyetlen részecske alkotja a ,,gázt'', és emiatt a ,,dugattyú'' (vagyis a tömegű test) nem folyamatosan, hanem lökésszerűen fejt ki erőt a másik testre. Igaz ugyan, hogy ezek az erőlökések csak kezdetben ritkák, a kis test sebességének növekedtével egyre jobban összesűrűsödnek, majdnem folytonossá válnak. Az egyetlen részecske problémát még kikerülhetjük, ha nagyon nagy számú vízszintes rudat képzelünk el, mindegyiken egy-egy tömegű, kezdetben álló golyó, s ezeknek ütközik egyetlen, nagy tömegű ,,dugattyú''. Ez a kép már jobban emlékeztet a kinetikus gázelmélet leírásmódjára, de a dugattyú kezdetben lökésszerű erőkifejtését nem oldja meg. A leírtak miatt a ,,gázmodell'' alapján számított eredményt nem fogjuk számszerűen pontosnak tekinteni, inkább csak nagyságrendi becslésként értelmezhetjük.
Adiabatikus állapotváltozás esetén
ahol , jelen esetben miatt . A gáz belső energiája
vagyis a kezdeti és a (legjobban összenyomott) végállapotra felírva:
Ez az arány (8) felhasználásával így is írható: | |
A kezdeti állapotban és , a végállapotban pedig a keresett megközelítési távolság. Tudjuk még, hogy a 2-es állapotban a ,,gáz'' energiája , hiszen a ,,dugattyú'' sebessége a falhoz legközelebbi helyzetben pontosan (vagy jó közelítéssel) nulla, így a rendszer teljes mechanikai energiája a ,,gázrészecskére'' jut. Ezek szerint a keresett távolságra fennáll: | | Ez az eredmény egy 2-es faktorban tér el az I. megoldás ,,pontos'' végeredményétől, de ez az eltérés ‐ az említett okok miatt ‐ érthető.
Megjegyzés. A golyók sebessége helyett bevezethetjük az és új változókat. Ezekkel kifejezve az energiamegmaradás törvénye így írható fel: , vagyis az ütközések során az átskálázott sebességkoordináták síkján egy kör mentén mozog a rendszer. Belátható, hogy minden egyes ütközésnél szöggel kell odébblépnünk ezen a körön, összesen tehát (egy negyedkörnyi elfordulás után) számú ütközés zajlik le, amíg a tömegű golyó legjobban megközelíti a falat.
|
|