Feladat:	4490. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2013/április, 240 - 241. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkinga, Nyomóerő, kötélerő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/december: 4490. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a $m$ tömegű testet a félgömb középpontjával összekötő egyenes és a függőleges szöge $\phi$. Eddig a helyzetig a félgömbről $R\phi$ hosszúságú fonál futott le, ennyivel került lejjebb a $M$ tömegű test; a $m$ tömegű test függőleges elmozdulása pedig $R\left(1-\text{cos}\phi \right)$.     A testek $v$ sebessége (ami a fonál okozta kényszer miatt a két testre ugyanakkora) az energiamegmaradás törvényéből számítható ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\left(M+m\right)v^2=MgR\phi +mgR\left(1-\text{cos}\phi \right)\mathrm{,}}\\ {\displaystyle v^2=2gR\frac{M\phi +m\left(1-\text{cos}\phi \right)}{M+m}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Legyen a félgömb által a $m$ tömegű testre kifejtett kényszererő $N$. Ekkor a $m$ tömegű testre vonatkozó Newton-egyenlet radiális irányban: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{cos}\phi -N=m\frac{v^2}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ Amikor a lecsúszó test éppen elválik a félgömbtől, a kényszererő nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{cos}\phi =m\frac{v^2}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ ami (1) felhasználásával így írható: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle mg\text{cos}\phi }& {\displaystyle =2mg\frac{M\phi +m\left(1-\text{cos}\phi \right)}{M+m}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(M+m\right)\text{cos}\phi }& {\displaystyle =2M\phi +2m\left(1-\text{cos}\phi \right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle m\left(3\text{cos}\phi -2\right)=M\left(2\phi -\text{cos}\phi \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (2) $a)$ Az elválás szöge akkor lesz $\phi ={45}^{\circ }=\pi /4$ radián, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle m\frac{3\sqrt[]{2}-4}{2}=M\frac{\pi -\sqrt[]{2}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a tömegarány: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m}{M}=\frac{\pi -\sqrt[]{2}}{3\sqrt[]{2}-4}=7\mathrm{,}12.}\end{array}$ $b)$ Ha $m\gg M$, a (2) egyenlet jobb oldala elhanyagolható (nullának vehető), így az elválás szögére $3\text{cos}\phi -2=0$ adódik, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \phi =\text{arccos}\frac{2}{3}=48\mathrm{,}{2}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ $c)$ Ha $m\ll M$, a (2) egyenlet bal oldala hanyagolható el, ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\phi -\text{cos}\phi =0.}\end{array}$ Ez az egyenlet csak numerikusan oldható meg, gyökének értéke kb. $\phi =25\mathrm{,}{8}^{\circ }$. A félgömbtől való elválás szöghelyzete tetszőleges tömegaránynál a fenti két érték közé esik.