A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A véges méretű ,,dobozba'' zárt tömegű részecske a kvantumos hatások miatt nem lehet nyugalomban, hanem valamekkora, átlagosan nagyságú impulzussal rendelkezik. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint ahol a neutron helyének bizonytalansága, pedig az impulzus határozatlansága.
Megjegyzések. 1. Az (1) egyenlőtlenség jobb oldalán írhattunk volna -t, -t vagy más, hasonló kifejezést, hiszen csak a bizonytalanság nagyságrendjét kívántuk megadni. Pontosabb számértéknek csak akkor lenne értelme, ha megmondanánk, mit is jelent pontosan a hely és az impulzus bizonytalansága, de erre a nagyságrendi becslésnél nem törekszünk. 2. Az impulzus átlagos értéke a bezárt részecskénél nyilván nulla, hiszen a neutron nem tud elmozdulni a dobozból. Emiatt az impulzus határozatlansága (az átlagértéktől való eltérése) az impulzus nagyságával becsülhető. Ezek szerint ‐ (1) határesetét tekintve ‐ a neutron impulzusa a részecske sebessége pedig Ha ezt az eredményt (jobb híján klasszikus fizikai hasonlattal élve) úgy értelmezzük, hogy a részecske ide-oda pattog a doboz szemközti falai között, akkor mondhatjuk: egy kiszemelt falon időközönként impulzusváltozás történik, tehát a részecske a falra nagyságú erőt, azaz nyomást fejt ki. Numerikusan (SI egységekben számolva) ami meglehetősen kicsiny érték (hacsak a doboz mérete nem nagyon kicsiny).
II. megoldás. A kvantumelmélet szerint egy oldalélű dobozba zárt részecske alapállapotát olyan hullámok szorzatával írhatunk le, melyek félhullámhossza a doboz mérete (), a megfelelő impulzusok tehát (a de Broglie-féle összefüggésnek megfelelően) Egy ilyen ,,kvantumrészecske'' energiája (ami jelen esetben tisztán mozgási energia) | | vagyis (3) felhasználásával Képzeljük el, hogy a doboz oldalait óvatosan értékkel lerövidítjük, vagyis a doboz térfogatát értékkel lecsökkentjük. Ekkor munkát kell végeznünk, ahol a keresett nyomás, miközben a részecske energiája mértékben megnő. Másrészt a munkatétel szerint , vagyis | | (4) | (Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy .) A (4) egyenletből a keresett nyomásra adódik, ami nagyságrendileg megegyezik az I. megoldás (2) képletével, tehát azzal egyenértékű becslésnek tekinthető.
Megjegyzések. 1. A dobozba zárt részecske energiaszintjei diszkrétek, és csökkentésével a köztük levő távolság egyre nagyobb lesz. Ha a doboz hőmérsékletű környezetben van, a nagyságrendű termikus gerjesztés kellően kicsi -re nem elég ahhoz, hogy a neutronokat kitérítse az alapállapotból. Kicsiny -re tehát a neutron mindig alapállapotban tartózkodik. Ellenkező esetben (vagyis amikor nem túl kicsi, vagy viszonylag nagy) a gerjesztett állapotok járulékát is figyelembe kell venni. 2. Klasszikus határesetben, amikor a részecske átlagenergiája , és ennek megfelelően a sebessége , a falakra kifejtett nyomás így számítható ki: A hőmozgásból származó nyomás szobahőmérsékleten és például 1 nm-es dobozméretnél kb. 100-szor nagyobb, mint a kvantumos eredetű nyomás. Ha viszont még ennél is (sokkal) kisebb méretű dobozba sikerülne bezárni egy neutront, annak kvantumos eredetű nyomása válna meghatározóvá.
3. A kvantumos eredetű nyomás (nagyságrendileg helyes) képletét dimenzionális megfontolásokkal is kitalálhatjuk. A nyomás nyilván függhet a doboz méretétől, a részecske tömegétől és a Planck-állandótól. Ezekből nyomás dimenziójú mennyiséget csak módon lehet ,,kikeverni'', ahol az állandó egy 1 nagyságrendű, dimenziótlan szám. A dimenzióanalízis módszere akkor alkalmazható biztonsággal, ha jó érvekkel meg tudjuk indokolni, hogy a keresett mennyiség mitől nem függ! Esetünkben a nyomás ‐ elvben ‐ függhetne a Boltzmann-állandótól, a fénysebességtől, vagy akár a Newton-féle gravitációs állandótól, de ténylegesen nincs kapcsolat a felsorolt állandók és a kvantumos eredetű nyomás között.
|
|