Feladat:	4484. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fekete Panna ,  Gnädig Péter ,  Horváth András Levente ,  Szabó Attila
Füzet:	2013/április, 237 - 240. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Határozatlansági (Heisenberg-) reláció, Neutron
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/november: 4484. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A véges méretű ,,dobozba'' zárt $m$ tömegű részecske a kvantumos hatások miatt nem lehet nyugalomban, hanem valamekkora, átlagosan $p$ nagyságú impulzussal rendelkezik. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\ge \frac{h}{4\pi }\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $\Delta x\approx d$ a neutron helyének bizonytalansága, $\Delta p\approx p$ pedig az impulzus határozatlansága.   Megjegyzések. 1. Az (1) egyenlőtlenség jobb oldalán írhattunk volna $h$-t, $h/2$-t vagy más, hasonló kifejezést, hiszen csak a bizonytalanság nagyságrendjét kívántuk megadni. Pontosabb számértéknek csak akkor lenne értelme, ha megmondanánk, mit is jelent pontosan a hely és az impulzus bizonytalansága, de erre a nagyságrendi becslésnél nem törekszünk. 2. Az impulzus átlagos értéke a bezárt részecskénél nyilván nulla, hiszen a neutron nem tud elmozdulni a dobozból. Emiatt az impulzus határozatlansága (az átlagértéktől való eltérése) az impulzus nagyságával becsülhető.   Ezek szerint ‐ (1) határesetét tekintve ‐ a neutron impulzusa $\begin{array}{c}{\displaystyle p\approx \pm \frac{h}{4\pi }\cdot \frac{1}{d}\mathrm{,}}\end{array}$ a részecske sebessége pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle v\approx \pm \frac{h}{4\pi }\cdot \frac{1}{md}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ezt az eredményt (jobb híján klasszikus fizikai hasonlattal élve) úgy értelmezzük, hogy a részecske ide-oda pattog a doboz szemközti   falai között, akkor mondhatjuk: egy kiszemelt falon $\Delta t=\frac{2d}{v}$ időközönként $2mv$ impulzusváltozás történik, tehát a részecske a falra $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{2mv}{\Delta t}=\frac{m{v}^2}{d}=\frac{h^2}{16{\pi }^{2}m}\cdot \frac{1}{d^3}}\end{array}$ nagyságú erőt, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{F}{d^2}=\frac{h^2}{16{\pi }^{2}m}\cdot \frac{1}{d^5}}\end{array}$ (2) nyomást fejt ki. Numerikusan (SI egységekben számolva) $\begin{array}{c}{\displaystyle p\approx 1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-42}\cdot \frac{1}{d^5}\text{[N <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>]}\mathrm{,}}\end{array}$ ami meglehetősen kicsiny érték (hacsak a doboz $d$ mérete nem nagyon kicsiny).   II. megoldás. A kvantumelmélet szerint egy $d$ oldalélű dobozba zárt részecske alapállapotát olyan hullámok szorzatával írhatunk le, melyek félhullámhossza a doboz mérete ($\lambda /2=d$), a megfelelő impulzusok tehát (a de Broglie-féle összefüggésnek megfelelően) $\begin{array}{c}{\displaystyle p_x=p_y=p_z=\frac{h}{\lambda }=\frac{h}{2d}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Egy ilyen ,,kvantumrészecske'' energiája (ami jelen esetben tisztán mozgási energia) $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right)=\frac{1}{2m}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis (3) felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(d\right)=\frac{3h^2}{8m}\cdot \frac{1}{d^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Képzeljük el, hogy a doboz oldalait óvatosan $\Delta d\ll d$ értékkel lerövidítjük, vagyis a doboz térfogatát $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta V=d^3-{\left(d-\Delta d\right)}^3\approx 3d^2\Delta d}\end{array}$ értékkel lecsökkentjük. Ekkor $W=p\cdot \Delta V$ munkát kell végeznünk, ahol $p$ a keresett nyomás, miközben a részecske energiája $\Delta E=E\left(d-\Delta d\right)-E\left(d\right)$ mértékben megnő. Másrészt a munkatétel szerint $W=\Delta E$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle p\cdot 3d^2\Delta d=\frac{3h^2}{8m}\cdot \left(\frac{1}{{\left(d-\Delta d\right)}^2}-\frac{1}{d^2}\right)=\frac{3h^2}{8m}\cdot \frac{2d\Delta d-\Delta d^2}{d^2{\left(d-\Delta d\right)}^2}\approx \frac{3h^2}{4m{d}^3}\Delta d\mathrm{.}}\end{array}$ (4) (Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy $\Delta d\ll d$.) A (4) egyenletből a keresett nyomásra $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{h^2}{4m}\cdot \frac{1}{d^5}}\end{array}$ (5) adódik, ami nagyságrendileg megegyezik az I. megoldás (2) képletével, tehát azzal egyenértékű becslésnek tekinthető.   Megjegyzések. 1. A dobozba zárt részecske energiaszintjei diszkrétek, és $d$ csökkentésével a köztük levő távolság egyre nagyobb lesz. Ha a doboz $T$ hőmérsékletű környezetben van, a $kT$ nagyságrendű termikus gerjesztés kellően kicsi $d$-re nem elég ahhoz, hogy a neutronokat kitérítse az alapállapotból. Kicsiny $d$-re tehát a neutron mindig alapállapotban tartózkodik. Ellenkező esetben (vagyis amikor $d$ nem túl kicsi, vagy $T$ viszonylag nagy) a gerjesztett állapotok járulékát is figyelembe kell venni.   2. Klasszikus határesetben, amikor a részecske átlagenergiája $3kT/2$, és ennek megfelelően a sebessége $\sqrt[]{3kT/m}$, a falakra kifejtett nyomás így számítható ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{3kT}{d^3}\mathrm{.}}\end{array}$ A hőmozgásból származó nyomás szobahőmérsékleten és például 1 nm-es dobozméretnél kb. 100-szor nagyobb, mint a kvantumos eredetű nyomás. Ha viszont még ennél is (sokkal) kisebb méretű dobozba sikerülne bezárni egy neutront, annak kvantumos eredetű nyomása válna meghatározóvá.   3. A kvantumos eredetű nyomás (nagyságrendileg helyes) képletét dimenzionális megfontolásokkal is kitalálhatjuk. A nyomás nyilván függhet a doboz méretétől, a részecske tömegétől és a Planck-állandótól. Ezekből nyomás dimenziójú mennyiséget csak $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\text{állandó}\cdot \frac{h^2}{m{d}^5}}\end{array}$ módon lehet ,,kikeverni'', ahol az állandó egy 1 nagyságrendű, dimenziótlan szám. A dimenzióanalízis módszere akkor alkalmazható biztonsággal, ha jó érvekkel meg tudjuk indokolni, hogy a keresett mennyiség mitől nem függ! Esetünkben a nyomás ‐ elvben ‐ függhetne a Boltzmann-állandótól, a fénysebességtől, vagy akár a Newton-féle gravitációs állandótól, de ténylegesen nincs kapcsolat a felsorolt állandók és a kvantumos eredetű nyomás között.