Feladat:	4472. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Garai Zoltán ,  Trócsányi Péter
Füzet:	2013/április, 235 - 236. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kölcsönös indukció, Transzformátorok (Váltó áramú áramkörök)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: 4472. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha egy áramkörben az egyik, $L_1$ induktivitású (önindukciós együtthatójú) tekercsen $I_1$, a másik, $L_2$ induktivitású tekercsen pedig $I_2$ erősségű áram folyik át, akkor az egész áramkör mágneses energiája $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2+M{I}_1{I}_2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebben a képletben $M$ a két tekercs kölcsönös indukciós együtthatóját jelöli, amely kifejezhető a tekercsek induktivitásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle M=k\sqrt[]{L_1{L}_2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $k$ a két tekercs közötti mágneses csatolás erősségét jellemzi (vagyis azt, hogy a tekercsek közül az egyik mágneses indukcióvonalainak mekkora része halad át a másik tekercs keresztmetszetén). Jelen esetben ‐ a közös vasmag miatt ‐ a csatolás szoros, $k=1$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle M=\sqrt[]{L_1{L}_2}=6\text{H}\mathrm{.}}\end{array}$ Esetünkben a tekercsek sorba vannak kapcsolva, így a rajtuk átfolyó áramok nagysága megegyezik, legfeljebb (a tekercselés iránya miatt) egy előjelben különbözhet egymástól a két áramerősség: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_1=\pm I_2=I\mathrm{.}}\end{array}$ Emiatt az áramkör mágneses energiája így számolható: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\frac{1}{2}\left(L_1+L_2\pm M\right)I^2=\frac{1}{2}\left(L_1+L_2\pm \sqrt[]{L_1{L}_2}\right)I^2=\frac{1}{2}{\left(\sqrt[]{L_1}\pm \sqrt[]{L_2}\right)}^2{I}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a két, sorba kapcsolt tekercset egyetlen, $L$ induktivitású tekercsnek tekintjük, akkor annak az áramkörnek, amelybe csak ez a tekercs van kapcsolva, és rajta $I$ erősségű áram folyik, $\begin{array}{c}{\displaystyle W=\frac{1}{2}L{I}^2}\end{array}$ lesz a mágneses energiája. Ezt a korábbi eredménnyel összehasonlítva leolvashatjuk, hogy a sorosan kapcsolt tekercsek eredő induktivitása $\begin{array}{c}{\displaystyle L={\left(\sqrt[]{L_1}\pm \sqrt[]{L_2}\right)}^2={\left(2\pm 3\right)}^2\text{H}\mathrm{.}}\end{array}$ A két tekercs eredő induktivitása tehát azonos tekercselési iránynál 25 henry, ellentétes tekercselésnél pedig 1 henry lesz.     II. megoldás. Egy tekercs induktivitása a menetszám négyzetével arányos: $\begin{array}{c}{\displaystyle L=b{N}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $b={\mu }_0{\mu }_{\text{r}}A/\ell$ a tekercs $A$ keresztmetszetétől, a vasmag teljes $\ell$ hosszától és a vasmag anyagának ${\mu }_{\text{r}}$ relatív permeabilitásától függő állandó. Egy zárt vasmagon elhelyezkedő, $N_1$ és $N_2$ menetszámú tekercsre, illetve a belőlük soros kapcsolással nyerhető harmadik tekercsre $b$ ugyanakkora, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle L_1=b{N}_1^2\mathrm{,}{L}_2=b{N}_2^2\mathrm{,}}\end{array}$ továbbá a sorosan kapcsolt tekercsekre $\begin{array}{c}{\displaystyle L=b{\left(N_1\pm N_2\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (Az előjel a tekercselések irányától függ, azonos menetirány esetén a menetszámok összeadódnak, ellentétes tekercselésnél pedig kivonódnak egymásból.) Eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle L=b{\left(\sqrt[]{\frac{L_1}{b}}\pm \sqrt[]{\frac{L_2}{b}}\right)}^2={\left(\sqrt[]{L_1}\pm \sqrt[]{L_2}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ a megadott számadatokkal $L=25$ H vagy 1 H.