Feladat:	4467. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter ,  Rosta Evelin ,  Vígh Máté
Füzet:	2013/április, 233 - 235. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb változó mozgás, Közegellenállás, Tapadó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/október: 4467. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A lopott kocsi sebessége 30 m/s, a rendőrautó maximális sebessége pedig $v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=45$ m/s. Az üldözött személyautó a szóbanforgó 1500 métert 50 s alatt teszi meg. A rendőrautó 10 s múlva indul el, ezért 40 másodperc alatt kell 1500 méternyi utat megtennie. A rendőrautónak fel kell gyorsulnia a megadott csúcssebességre. Egy $m$ tömegű autót gyorsító erő (a súrlódási erő) legfeljebb $F=\mu mg$ lehet, ha az ennek megfelelő értéknél nagyobb gázt ad a vezető, akkor az autó kerekei kipörögnek. Ezek szerint a rendőrautó gyorsulása legfeljebb $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{F}{m}=\mu g=0\mathrm{,}4\cdot 9\mathrm{,}81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=3\mathrm{,}92\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}\end{array}$ lehet. (Lényeges, hogy az autó négykerék-meghajtású; ha nem ilyen lenne, akkor a gyorsulása csak kb. 2 m/s${}^2$ lehetne.) Tételezzük fel, hogy a rendőrautó egyenletesen gyorsulva éri el a csúcssebességét, majd a továbbiakban egyenletesen, állandó sebességgel halad. A felgyorsuláshoz $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\frac{v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}}{a}=\frac{45\text{m/s}}{3\mathrm{,}92{\text{m/s}}^2}\approx 11\mathrm{,}5\text{s }}\end{array}$ időre van szüksége, és ezalatt $\begin{array}{c}{\displaystyle s_1=\frac{a}{2}{t}_1^2=\frac{3\mathrm{,}92}{2}11\mathrm{,}{5}^2\text{m}\approx 260\text{m}}\end{array}$ utat tesz meg. A maradék $t_2=40-11\mathrm{,}5=28\mathrm{,}5$ másodperc alatt a 45 m/s sebességgel haladó rendőrautó $\begin{array}{c}{\displaystyle s_2=v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}{t}_2\approx 1280\text{m }}\end{array}$ utat tesz meg. Mivel $s_1+s_2=1540$ m több, mint a város távolsága, a rendőrautó utoléri a lopott gépkocsit.   Megjegyzés. A fenti megoldás a légellenállást nem veszi figyelembe, pedig az növekvő sebességeknél egyre nagyobb szerepet kap. A megoldás során feltételeztük, hogy a rendőrautó motorjának még a csúcssebességet majdnem elérő sebességeknél is van akkora ,,tartalék'' teljesítménye, hogy a $\mu g$ gyorsítást létrehozhassa, majd a 45 m/s-os sebesség elérésénél ezt a teljesítményt a vezető valamilyen megfontolásból lecsökkenti. Ez azonban nem életszerű, hiszen a rendőrautóban nincs beépített sebességkorlátozó berendezés, és a vészhelyzetben intézkedő rendőrök a KRESZ által (a ,,közönséges'' járművekre vonatkozó) megengedett sebességet már úgyis jócskán túllépték. Reálisabb feltételezés, hogy a gépkocsi sebességét nem a vezető döntése, hanem fizikai hatások, nevezetesen a közegellenállás, továbbá a növekvő fordulatszámmal erősen csökkenő motorteljesítmény korlátozza. Ez azonban annyit jelent, hogy a gépkocsi gyorsulása kezdettől fogva nem állandó, hanem a sebesség növekedtével egyre csökken, és $v=v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$ értéknél nullává válik. Ennek a ‐ változó gyorsulású ‐ mozgásnak részletes elemzése felsőbb matematikai ismereteket igényel, és természetesen nem várható el a középiskolás megoldóktól. Ha a gépkocsi gyorsulásának csökkenését a sebesség négyzetével arányos közegellenállási erőnek tulajdonítjuk, akkor az $\begin{array}{c}{\displaystyle a\left(v\right)=\mu g\left(1-\frac{v^2}{v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}^2}\right)}\end{array}$ mozgásegyenletet írhatjuk fel. (Az arányossági tényezőket úgy választottuk meg, hogy kis sebességnél az ismert $\mu g$, $v=v_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}$-nál pedig nulla legyen a gyorsulás.) Ezt az egyenletet ‐ ami egy differenciálegyenlet, hiszen a $v\left(t\right)$ sebesség és annak változási üteme (differenciálhányadosa) között teremt kapcsolatot ‐ felsőbb matematikai eszközökkel, vagy pl. numerikusan, kicsiny lépések sorozatával lehet megoldani. Az ábrán a számítógéppel kapott megoldást folytonos vonal jelöli, míg az egyenletesen gyorsuló + egyenletes mozgást (ez szerepelt a középiskolás eszközökkel végigszámolható megoldásban) szaggatott vonal ábrázolja.     A rendőrautó által megtett út a görbe alatti területtel egyenlő. Ez a szaggatott vonalnál ‐ mint láttuk ‐ kicsit nagyobb, mint másfél km, a folytonos vonal esetében pedig kicsit kisebb annál. (Ez pl. a ,,kis téglalapok" leszámlálásával és interpolálással is látható.) Ha tehát a rendőrautó mozgását az itt leírt modell jól írja le, akkor a feltett kérdésre adható válasz: nem fogja utolérni az ellopott gépkocsit a város határa előtt.