A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A lopott kocsi sebessége 30 m/s, a rendőrautó maximális sebessége pedig m/s. Az üldözött személyautó a szóbanforgó 1500 métert 50 s alatt teszi meg. A rendőrautó 10 s múlva indul el, ezért 40 másodperc alatt kell 1500 méternyi utat megtennie. A rendőrautónak fel kell gyorsulnia a megadott csúcssebességre. Egy tömegű autót gyorsító erő (a súrlódási erő) legfeljebb lehet, ha az ennek megfelelő értéknél nagyobb gázt ad a vezető, akkor az autó kerekei kipörögnek. Ezek szerint a rendőrautó gyorsulása legfeljebb | | lehet. (Lényeges, hogy az autó négykerék-meghajtású; ha nem ilyen lenne, akkor a gyorsulása csak kb. 2 m/s lehetne.) Tételezzük fel, hogy a rendőrautó egyenletesen gyorsulva éri el a csúcssebességét, majd a továbbiakban egyenletesen, állandó sebességgel halad. A felgyorsuláshoz | | időre van szüksége, és ezalatt | | utat tesz meg. A maradék másodperc alatt a 45 m/s sebességgel haladó rendőrautó utat tesz meg. Mivel m több, mint a város távolsága, a rendőrautó utoléri a lopott gépkocsit.
Megjegyzés. A fenti megoldás a légellenállást nem veszi figyelembe, pedig az növekvő sebességeknél egyre nagyobb szerepet kap. A megoldás során feltételeztük, hogy a rendőrautó motorjának még a csúcssebességet majdnem elérő sebességeknél is van akkora ,,tartalék'' teljesítménye, hogy a gyorsítást létrehozhassa, majd a 45 m/s-os sebesség elérésénél ezt a teljesítményt a vezető valamilyen megfontolásból lecsökkenti. Ez azonban nem életszerű, hiszen a rendőrautóban nincs beépített sebességkorlátozó berendezés, és a vészhelyzetben intézkedő rendőrök a KRESZ által (a ,,közönséges'' járművekre vonatkozó) megengedett sebességet már úgyis jócskán túllépték. Reálisabb feltételezés, hogy a gépkocsi sebességét nem a vezető döntése, hanem fizikai hatások, nevezetesen a közegellenállás, továbbá a növekvő fordulatszámmal erősen csökkenő motorteljesítmény korlátozza. Ez azonban annyit jelent, hogy a gépkocsi gyorsulása kezdettől fogva nem állandó, hanem a sebesség növekedtével egyre csökken, és értéknél nullává válik. Ennek a ‐ változó gyorsulású ‐ mozgásnak részletes elemzése felsőbb matematikai ismereteket igényel, és természetesen nem várható el a középiskolás megoldóktól. Ha a gépkocsi gyorsulásának csökkenését a sebesség négyzetével arányos közegellenállási erőnek tulajdonítjuk, akkor az mozgásegyenletet írhatjuk fel. (Az arányossági tényezőket úgy választottuk meg, hogy kis sebességnél az ismert , -nál pedig nulla legyen a gyorsulás.) Ezt az egyenletet ‐ ami egy differenciálegyenlet, hiszen a sebesség és annak változási üteme (differenciálhányadosa) között teremt kapcsolatot ‐ felsőbb matematikai eszközökkel, vagy pl. numerikusan, kicsiny lépések sorozatával lehet megoldani. Az ábrán a számítógéppel kapott megoldást folytonos vonal jelöli, míg az egyenletesen gyorsuló + egyenletes mozgást (ez szerepelt a középiskolás eszközökkel végigszámolható megoldásban) szaggatott vonal ábrázolja.
A rendőrautó által megtett út a görbe alatti területtel egyenlő. Ez a szaggatott vonalnál ‐ mint láttuk ‐ kicsit nagyobb, mint másfél km, a folytonos vonal esetében pedig kicsit kisebb annál. (Ez pl. a ,,kis téglalapok" leszámlálásával és interpolálással is látható.) Ha tehát a rendőrautó mozgását az itt leírt modell jól írja le, akkor a feltett kérdésre adható válasz: nem fogja utolérni az ellopott gépkocsit a város határa előtt. |
|