Feladat:	4493. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Gabriella ,  Emri Tamás
Füzet:	2013/március, 182 - 183. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kondenzátorok kapcsolása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/december: 4493. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A $C_1$, $C_2$ és $C_3$ kapacitású kondenzátorok soros kapcsolásánál az eredő kapacitás $\begin{array}{c}{\displaystyle C_{\text{s}}=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}}=\frac{C_1{C}_2{C}_3}{C_1{C}_2+C_2{C}_3+C_3{C}_1}\mathrm{,}}\end{array}$ míg a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredője $\begin{array}{c}{\displaystyle C_{\text{p}}=C_1+C_2+C_3\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen $C_{\text{p}}=\lambda C_{\text{s}}$, és keressük a $\lambda$ arányszám minimumát. Algebrai átalakítások után kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \lambda =1+\left(\frac{C_1}{C_2}+\frac{C_2}{C_1}\right)+1+\left(\frac{C_1}{C_3}+\frac{C_3}{C_1}\right)+1+\left(\frac{C_3}{C_2}+\frac{C_2}{C_3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A zárójeles kifejezések mindegyike $x+\frac{1}{x}$ alakú, értékük (a számtani és mértani közép egyenlőtlenség miatt) $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{1}{x}=2\cdot \frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge 2\cdot \sqrt[]{x\cdot \frac{1}{x}}=2.}\end{array}$ Ezek szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \lambda =\frac{C_{\text{p}}}{C_{\text{s}}}\ge 1+2+1+2+1+2=9.}\end{array}$ Az egyenlőség csak $C_1=C_2=C_3$ esetben állhatna fenn, ezt a lehetőséget azonban a feladat szövege kizárja. Három sorbakapcsolt, különböző kapacitású kondenzátor eredő kapacitásának legalább kilencszerese a három kondenzátor párhuzamos kapcsolásával előállítható kapacitás.     II. megoldás. Alkalmazzuk a harmonikus és a számtani közepekre vonatkozó ismert egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3C_{\text{s}}=\frac{3}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}}\le \frac{C_1+C_2+C_3}{3}=\frac{C_{\text{p}}}{3}\mathrm{,}\text{vagyis}\frac{C_{\text{p}}}{C_{\text{s}}}\ge 9.}\end{array}$ Az egyenlőség három egyforma kapacitású kondenzátorra teljesülne.