Feladat:	4478. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antalicz Balázs ,  Barta Szilveszter Marcell ,  Bognár Tamás ,  Horicsányi Attila
Füzet:	2013/március, 180 - 182. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Közegellenállás, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/november: 4478. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A kerékpárra többféle erő is hat, de ezeknek csak a mozgás irányába eső komponensét kell figyelembe vegyük. A nehézségi erőnél ez a komponens $\pm mg\text{sin}\alpha$ (ahol $\alpha$ a lejtő hajlásszöge, az előjel pedig a haladás irányától függ). A közegellenállási erő a sebesség négyzetével arányosnak vehető, mert a kerékpáros körül (egységnyi hosszúságú úton) megkavart levegő mozgási energiájával arányos.   Megjegyzés. A sebesség első hatványával arányos közegellenállási erő csak nagyon kicsi sebességeknél és nagyon kis méretű testeknél lépne fel, de azoknál is csak akkor, ha a mozgó test alakja időben állandó. A kerékpárosra egyik feltétel sem teljesül, tehát a $v$-vel arányos ,,viszkózus'' fékezőerő feltételezése nem reális.   A kerékpáros lába által a pedálokra kifejtett erő forgatónyomatékot eredményez, ami ‐ az áttételeken keresztül ‐ a gumiabroncs által a talajra kifejtett, azt hátrafelé toló erővé számolható át. Ennek az erőnek az ellenereje a talaj által a kerékre kifejtett súrlódási erő. Jelöljük a felfelé, lefelé és vízszintesen haladó kerékpáros csúcssebességét rendre $v_1$-gyel, $v_2$-vel és $v_3$-mal. A kerékpár mindhárom esetben egyenletesen halad, gyorsulása tehát nulla. A lejtőn felfelé haladó kerékpárosra felírható mozgásegyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1-mg\text{sin}\alpha -k{v}_1^2=\mathrm{0,}}\end{array}$ (1) ahol $F_1$ a kerékpáros lábának ,,erőkifejtésével'' arányos, a kerékpárt menetirányban előrefelé toló súrlódási erő, $k$ pedig a közegellenállási erő képletében szereplő állandók szorzata. Hasonló egyenleteket írhatunk fel a lejtőn lefelé mozgó, illetve a vízszintes úton haladó kerékpárra is: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_2+mg\text{sin}\alpha -k{v}_2^2=\mathrm{0,}}\end{array}$ (2) $\begin{array}{c}{\displaystyle F_3-k{v}_3^2=0.}\end{array}$ (3) A feladat szövege szerint a kerékpáros mindhárom esetben ugyanakkora ,,erőbedobással'' teker. Értelmezzük ezt az állítást úgy, hogy a kerékpáros által kifejtett erő mindhárom esetben ugyanakkora, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=F_2=F_3\mathrm{.}}\end{array}$ (4) (Nem nyilvánvaló ez az értelmezés, hiszen a sebességváltós kerékpároknál a szükséges ,,pedálerő'' megfelelő áttételekkel jelentősen csökkenthető, vagy akár növelhető is.) Adjuk össze (1) és (2) egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1+F_2-k\left(v_1^2+v_2^2\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ s vessük össze az eredményt (3)-mal és (4)-gyel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2F_3-k\left(v_1^2+v_2^2\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 2k{v}_3^2=k\left(v_1^2+v_2^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle v_3=\sqrt[]{\frac{v_1^2+v_2^2}{2}}=\sqrt[]{\frac{{12}^2+{36}^2}{2}}\frac{\text{km}}{\text{h}}\approx 27\frac{\text{km}}{\text{h}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha feltételezzük, hogy az eddig felsorolt erőhatásokon kívül még a gördülő ellenállás és a kerékpár csapágyainak és fogaskerekeinek súrlódása is számottevő. Ilyenkor az (1) mozgásegyenlet így módosul: $\begin{array}{c}{\displaystyle F-mg\text{sin}\alpha -k{v}_1^2-k^{*}-\mu mg\text{cos}\alpha =\mathrm{0,}}\end{array}$ és hasonlóan a másik két egyenlet. ($k^{*}$ a csapágysúrlódásra, $\mu$ pedig a gördülő ellenállásra jellemző állandó.) A mozgásegyenletekből most $\begin{array}{c}{\displaystyle v_3^2=\frac{v_1^2+v_2^2}{2}+\frac{mg}{k}\cdot \mu \left(1-\text{cos}\alpha \right)}\end{array}$ (5) adódik. Tekintettel arra, hogy a kerékpározásra alkalmas utak meredeksége nem túl nagy (azaz $\text{cos}\alpha \approx 1$), továbbá a gördülő ellenállás együtthatója általában igen kicsi, (5) jobb oldalának utolsó tagja elhanyagolható, s ebben a közelítésben az eredmény valóban megegyezik a fentebb számítottal.     II. megoldás. Ha a feladat (laza megfogalmazású) szövegében szereplő ,,teljes erőbedobás'' kifejezést a kerékpáros maximális teljesítményeként értelmezzük, akkor ‐ az I. megoldás jelöléseit követve ‐ (4) helyett a teljesítmények egyenlőségét írhatjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1\cdot v_1=F_2\cdot v_2=F_3\cdot v_3\mathrm{.}}\end{array}$ Innen (1) és (2) felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1\cdot mg\text{sin}\alpha +k{v}_1^3=k{v}_2^3-v_2\cdot mg\text{sin}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{mg}{k}\text{sin}\alpha =\frac{v_2^3-v_1^3}{v_1+v_2}}\end{array}$ adódik. Másrészt $F_1\cdot v_1=F_3\cdot v_3$, valamint (1) és (3) miatt fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1\cdot mg\text{sin}\alpha +k{v}_1^3=k{v}_3^3\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle v_3^3=v_1^3+v_1\cdot \frac{mg}{k}\text{sin}\alpha =v_1^3+v_1\cdot \frac{v_2^3-v_1^3}{v_1+v_2}=\frac{v_1{v}_2\left(v_1^2+v_2^2\right)}{v_1+v_2}\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett sebesség tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle v_3=\sqrt[3]{\frac{v_1{v}_2\left(v_1^2+v_2^2\right)}{v_1+v_2}}=\sqrt[3]{\frac{12\cdot 36\cdot \left({12}^2+{36}^2\right)}{48}}\frac{\text{km}}{\text{h}}\approx 23\mathrm{,}5\frac{\text{km}}{\text{h}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. Figyelemre méltó, hogy a kerékpáros, mint a mozgó rendszer része, csak ún. belső erőt tud kifejteni, ami ‐ a (külső) súrlódási erő nélkül ‐ nem tudná mozgásban tartani a járművet. Ugyanakkor a súrlódási erő nem végez munkát, hiszen a csúszásmentesen gördülő kerék legalsó pontja a talajhoz képest nem mozdul el; a munkavégzés a belső erők támadáspontjánál, a pedáloknál történik. 2. A sík terepen elérhető sebesség nyilván $v_1$ és $v_2$ közötti érték, azok ‐ valamilyen értelemben vett ‐ középértéke kell legyen. Az I. megoldásnak megfelelő értelmezés esetén ez a középérték ($Q$) a négyzetes közép, míg a II. megoldásban szereplő eredmény $\sqrt[3]{G^2\cdot Q^2/A}$, ahol $A$ a számtani, $G$ pedig a mértani közepet jelöli.